Question

4．A、B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速v₀竖直上抛，两球沿同一竖直线运动，若重力加速度为g（不考虑碰地反弹）．试求以下两种情况下，B球初速度v₀的取值范围：
（1）B球在上升过程中与A球相遇；
（2）B球在下落过程中与A球相遇．

Answer 1

分析 自由落体的位移大小与竖直上抛位移的大小之和等于总高度h，再分别讨论竖直上抛的小球是处在上升阶段还是下降阶段．

解答 解：A球做自由落体运动，下落高度h₁，所用时间t₁
得：h₁=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$           ①
B球做竖直上抛运动（全过程），上升高度h₂，时间t₂，t₂=t₁=t
得：h₂=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$          ②
又因：h₁+h₂=h         ③
由①②③解得：t=$\frac{h}{{v}_{0}}$
（1）设B球上升到最大高度时，与球A相遇，
B球上升到最大高度时间为$\frac{{v}_{0}}{g}$．由此可知，要使AB在B球上升过程中与A相遇，
只要$\frac{{v}_{0}}{g}$≥t即可
解得：v₀≥$\sqrt{gh}$      
满足此条件B球就会在上升时与A球相遇
（2）B球落地时间$\frac{2{v}_{0}}{g}$，如果相遇时间t=$\frac{h}{{v}_{0}}$等于B球落地时间，A球刚好在B球落地时追上B球．
即：$\frac{2{v}_{0}}{g}$=$\frac{h}{{v}_{0}}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gh}{2}}$
次条件是AB还能相遇的最小速度，所以要满足在下落中相遇，
需满足$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$
答：（1）B球在上升过程中与A球相遇要满足v₀≥$\sqrt{gh}$；
（2）B球在下落过程中与A球相遇要满足$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$．

点评 自由落体与竖直上抛相结合，要注意上抛的小球是出在上升阶段还是下降阶段，题目较难．