题目内容

20．如图所示为仓储公司常采用的“自动化”货物装卸装置，两个相互垂直的斜面固定在平台上，平台跟货车车厢等高，货箱A（含货物）和配重B通过与斜面平行的轻绳跨过光滑滑轮相连．A装载货物后从h=8.0m高处由静止释放，运动到底端时，A和B同时被锁定，卸货后解除锁定，A在B的牵引下被拉回原高度处，再次被锁定．已知θ=53°，B的质量M为1.0×103kg，A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）为使A由静止释放后能沿斜面下滑，其质量m需要满足什么条件？
（2）若A的质量m=4.0×103 kg，求它到达底端时的速度v；
（3）为了保证能被安全锁定，A到达底端的速率不能大于12m/s．请通过计算判断：当A的质量m不断增加时，该装置能否被安全锁定．

分析 （1）由题意可明确下滑的条件，则可求得质量的范围；
（2）对系统应用动能定理可求得速度大小；
（3）由题意明确货箱加速度最大的条件，再牛顿第二定律及运动学规律可确定能否被锁定．

解答 解：（1）设左斜面倾角为θ，左斜面倾角为β，货箱由静止释放后能沿斜面下滑，则
  F合＞0                                 ①
即mgsinθ-Mgsinβ-μmgcosθ-μMgcosβ＞0       ②
解得 m＞2.0×103 kg                      ③
（2）对系统应用动能定理，有
 W合=△Ek ④
即mgh-Mg（$\frac{hsinβ}{sinθ}$）-（ μmg cosθ+μMgcosβ）（$\frac{h}{sinθ}$）=$\frac{1}{2}$（M+m） v2 ⑤
解得 v=2$\sqrt{10}$m/s                         ⑥
另解：本小题也可用牛顿第二定律求解：
由F合=ma                               
即mgsinθ-Mgsinβ-μmgcosθ-μMgcosβ=（M+m）a  
由运动学方程得 v2=2aL                                  
又L=$\frac{h}{sinθ}$，解得v=2$\sqrt{10}$m/s                             
（3）当A的质量m与B的质量M 之间关系满足m＞＞M时，货箱下滑的加速度最大，
到达斜面底端的速度也最大，此时有
 mgsinθ-μmgcosθ=mam ⑦
得 am=5m/s2 ⑧
又v2=2amL                       ⑨
货箱到达斜面底端的最大速度 v=10m/s＜12m/s     ⑩
所以，当A的质量m不断增加时，该运输装置均能被安全锁定．⑪
答：
（1）为使A由静止释放后能沿斜面下滑，其质量m需要满足m＞2.0×103 kg．
（2）若A的质量m=4.0×103kg，求它到达底端时的速度v为2$\sqrt{10}$m/s；
（3）当A的质量m不断增加时，该装置能被安全锁定．

点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律的应用，要注意正确分析题意，明确物理过程，应用动能定理求解．

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