Question

2．（1）开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一个对所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M_太．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统都成立．已知火星半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，地球表面重力加速度是g；
①已知围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星周期为T₀，则围绕火星表面做匀速圆周运动的探测器的周期为多大？
②某人在地球上向上跳起的最大高度为h，若不考虑其它因素的影响，则他在火星上向上跳起的最大高度为多大？

Answer 1

分析 行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k应改为$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
对火星探测器列万有引力提供向心力的周期表达式，得到周期与质量和半径的关系，进而有题目给定的火星与地球关系，可以得到周期与地球半径和质量的关系，再由黄金代换，可以代换掉地球质量，最终得到火星周期表达式；
根据万有引力等于重力，得出重力加速度的关系，从而得出上升高度的关系．

解答 解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：$\frac{G{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行（$\frac{2π}{T}$）²r…①
于是有：$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太…②
即：=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太     
（2）设地球和火星的质量分别为M、Mˊ，火星的半径为Rˊ，则对火星探测器，由万有引力定律：
G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$=mR′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
又：M′=$\frac{1}{9}$ M，R′=$\frac{1}{2}$R
围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星周期为T₀，则有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′R$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$
联立两式，解得：T=$\sqrt{\frac{R{′}^{3}}{{R}^{3}}•\frac{M}{M′}}$T₀=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
由G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg得到：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．
已知火星半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g．
假设人以v₀在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出：可跳的最大高度是 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度h′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{\frac{4}{9}g}$=$\frac{9}{4}$h．
答：（1）太阳系中该常量k的表达式是$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）①已知围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星周期为T₀，则围绕火星表面做匀速圆周运动的探测器的周期为$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
②某人在地球上向上跳起的最大高度为h，若不考虑其它因素的影响，则他在火星上向上跳起的最大高度为$\frac{9}{4}$h．

点评 本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必修是相对于同一个中心天体来说的．
这是一个比较简单的题，只需要列一个周期表达式，再依据题目给定的关系，用已知量代换未知量就可以得到最终的结果．