题目内容

13．如图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4m，上、下两端各有一个电阻R0=1Ω，框架的其他部分电阻不计．垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T．ab金属杆长度为L=0.4m，质量m=0.8kg，电阻r=0.5Ω，杆与框架的动摩擦因数μ=0.5．金属杆由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，金属杆克服磁场力所做的功W=1.5J．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g取10m/s2．求：
（1）ab杆达到的最大速度vm
（2）当ab杆速度为1m/s时的加速度大小
（3）ab杆从开始到速度最大的过程中沿斜面下滑的距离
（4）在该过程中通过ab杆的电荷量．

分析 （1）导体棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，达到最大速度，此时棒ab受力平衡，推导出安培力与速度的关系式，写出受力平衡的方程，即可求得最大速度；
（2）根据牛顿第二定律，结合安培力表达式，即可求解；
（3）由电阻R0产生的热量Q0，根据串并联关系，得到ab棒产生的热量，根据能量的转化与守恒解答该题；
（4）结合法拉第电磁感应定律与闭合电路的欧姆定律，求解通过ab的电荷量．

解答 解：（1）导体棒受到的摩擦力：f=?N，又N=mgcosθ，得f=?mgcosθ．
达到最大速度时，棒ab受力平衡，则有：FA+f=mgsinθ
而安培力：FA=BIL，I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{BLv}{0.5{R}_{0}+r}$
联解可得：$\frac{mg（0.5{R}_{0}+r）（sinθ-μcosθ）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入解得 υ=2.5m/s
（2）安培力表达式F安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R+r}$
根据牛顿第二定律，则有mgsin37°-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R+r}$-μmgcos37°=ma；
代入数据，解得：a=$\frac{mgsin37°-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R+r}-μmgcos37°}{m}$=$\frac{0.8×10×0.6-\frac{{2}^{2}×0．{4}^{2}×1}{0.5+0.5}-0.5×0.8×10×0.8}{0.8}$=4.8m/s2；
（3）当金属棒速度达到最大时，金属杆克服磁场力所做的功W=1.5J，
那么电阻R0产生的热量Q0=0.375J，ab棒中电流是电阻R0中电流的2 倍，
由焦耳定律Q=I2Rt，ab棒中产生的焦耳热为2Q0，则电路中产生的总焦耳Q总=4Q  
根据能量守恒得 mgsinθS=Q+$\frac{1}{2}$mv2+fS
得：S=$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}+{Q}_{总}}{mg（sinθ-μcosθ）}$=2.5m            
（4）流过导体棒的电量：q=$\overline{I}$△t
  又$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{总}}$，$\overline{E}$=$\frac{△∅}{△t}$，△Φ=BLS
联立以上四式得：q=$\frac{BLS}{{R}_{总}}$
代入解得，q=2C
答：
（1）杆ab的最大速度是2.5m/s；
（2）当ab杆速度为1m/s时的加速度大小4.8m/s2；
（3）从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离是2.5m；
（4）在该过程中通过ab的电荷量是2C．

点评 该题是电磁感应的综合应用，涉及到受力平衡、法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律以及能量的转化与守恒，综合性相对较强，要求的能力也比较高．

练习册系列答案
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B．当棒再一次回到初始位置时，AB间电阻的热功率为 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{R}$
C．当棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为$\frac{1}{2}$mv02-2Q
D．当棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为$\frac{1}{2}$mv02-6Q
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