Question

16．如图所示两束平行细光束a，b分别从D，E 两点射入三棱镜ABC，到达AC边时的交点分别是F，G，已知光 束与AB边的入射角i和三棱镜的角θ都为60°，且∠ABC=90°，FG=$\sqrt{3}$DE，求：
①三棱镜的折射率n；
②a、b光束射出三棱镜后的间距是入射前的几倍．

Answer 1

分析 ①作出光路图，根据几何知识求出光线在AB面上的折射角，再由折射定律求三棱镜的折射率n；
②光线a、b经AC发生全反射，恰好能平行AB射出，根据几何关系求出a、b光束射出三棱镜后的间距是入射前的几倍．

解答 解：①对光线a、b，在界面AB发生折射的光路图如图所示，经P点作AB的平行线FP，交EQ于P点，对三角形FPG，由余玄定理得
  $\overline{PG}$=$\sqrt{{\overline{FG}}^{2}+{\overline{DE}}^{2}-2\overline{FG}•\overline{DE}cos30°}$=$\overline{DE}$

经P点作AC面的垂线，垂足为Q，由几何关系得∠FPE=60°，故在面AB上，折射角 i′=30°，由折射定律得    n=$\frac{sini}{sini′}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$         
②由以上分析知，光线a、b经AC发生全反射，恰好能平行AB射出
设原来的宽度为d，a、b光束射出三棱镜后的间距为
  d′=2$\frac{d}{sin30°}$cos30°sin30°=$\sqrt{3}$d
即间距变为原来的$\sqrt{3}$倍
答：
①三棱镜的折射率n是$\sqrt{3}$；
②a、b光束射出三棱镜后的间距是入射前的$\sqrt{3}$倍．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是解答的基础，关键能灵活运用数学知识求出折射角，并能掌握折射定律．