题目内容

如图所示，质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，碰撞过程中没有动能损失，小球落地后均不再反弹．由静止开始释放它们，不计所有摩擦，求：
（1）A球刚要落地时的速度大小
（2）C球刚要落地时的速度大小．
（3）在B球运动过程中，两绳对B球做的总功为多少．
分析：（1）在A球未落地前，A、B、C组成的系统机械能守恒，列式可求得A球刚要落地时的速度大小．
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统机械能守恒，在B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中机械能守恒，分两个过程由机械能守恒列式可求得C球刚要落地时的速度大小．
（3）在B球下落过程中，重力和绳的拉力做功，运用动能定理列式求解两绳对B球做的总功．
解答：解：
（1）在A球未落地前，A、B、C组成的系统机械能守恒，设A球刚要落地时系统的速度大小为v1，则
   
1
2
(mA+mB+mC)
v
2
1
=mAghA-mBghB1-mCghC1
又hA=L，hB1=hC1=Lsin30°=
1
2
L
代入数据并解得，v1=
gL
2

（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统机械能守恒，设B球刚要落地时系统的速度大小为v2，则
 
1
2
(mB+mC)
v
2
2
-
1
2
(mB+mC)
v
2
1
=mBghB2-mCghC2
又hB2=L，hC2=Lsin30°=
1
2
L
代入数据并解得，v2=
3gL
2

在B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中机械能守恒，设C球刚要落地时系统的速度大小为v3，则
   
1
2
mC
v
2
3
-
1
2
mC
v
2
2
=mCghC3
又hC3=L，代入数据得，v3=
7gL
2
．
（3）在B球下落过程中，重力和绳的拉力做功，设两绳做的总功为W，根据动能定理可得：
  mBgLsin30o+W=
1
2
mBv22
代入数据解得，W=
1
2
mgL
答：
（1）A球刚要落地时的速度大小为
gL
2
．
（2）C球刚要落地时的速度大小
3gL
2
．
（3）在B球运动过程中，两绳对B球做的总功为
1
2
mgL．
点评：本题绳系系统机械能守恒问题，关键要善于选择研究的过程，分段进行列式求解．
练习册系列答案
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