Question

9．如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，其上有一小孔P，OP足够远，现有一质量m=4×10^-20kg，带电荷量为q=+2×10^-14C的粒子，从小孔以速度v₀=3×10⁴m/s水平射向磁感应强度B=0.2T，方向垂直纸面向外的一矩形区域，且在飞出磁场区域后能垂直于打在OA面上，粒子重力不计，求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）矩形区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径，并由圆周运动公式求出周期．
（2）画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识得到轨迹对应的圆心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子在磁场中运动的时间；
（3）当粒子的轨迹圆正好以PQ为直径时，圆形磁场区域的半径最小，则知最小半径的值．

解答 解：（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，
根据牛顿第二定律得$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$，$T=\frac{2πr}{v}$
则有：$r=\frac{mv}{Bq}$，代入数据，解得：r=0.3m
（2）画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识得到轨迹对应的圆心角θ=60°，则粒子在磁场中运动的时间为
t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{π}{3}$×10^-5s
（3）当粒子的轨迹圆正好以PQ为直径时，矩形磁场区域的面积最小，根据几何知识得知，PQ=$\sqrt{2}$d=0.3m，
则磁场最小最小面积为S_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}d$×$\sqrt{2}$d=0.45m²；
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.3m；
（2）粒子在磁场中运动的时间$\frac{π}{3}$×10^-5s；
（3）矩形区域的最小面积0.45m²．

点评 本题中圆形磁场区域最小的直径等于入射点与出射点间的距离是常用的经验结论，在本题中要灵活运用．