Question

14．如图所示，将半径为R，圆心角为240°的圆形导轨固定在竖立面内的A、B两点，直径AD处于竖直方向上，直径BC与竖直方向的夹角为60°，在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数k=$\frac{mg}{3R}$的弹性轻绳穿过圆形且固定在A、B两点．已知弹性轻绳满足胡克定律，且形变量为x时具有弹性势能E_p=$\frac{1}{2}$kx²，重力加速度为g，不计一切摩擦．将圆环由C点静止释放，当圆环运动到导轨的最低点D点时，求
（1）圆环的速率v；
（2）导轨对圆形的作用力F的大小．

Answer 1

分析 （1）从C到D过程，由机械能守恒定律可以求出圆环的速度；
（2）圆环做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出在D点轨道对圆环的作用力．

解答 解：（1）如图所示，由几何知识得，圆环在C点、D点时，弹性绳形变量相同，弹性势能相等．
圆环从C到D过程中，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由几何关系可知：h=$\frac{R}{2}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）圆环在D点受力如图，弹性绳的弹力：
f=kx，其中：x=（$\sqrt{3}-1$）R，
在D点，由牛顿第二定律得：
F+fcos60°+fsin60°-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F=$\frac{4mg}{3}$．
答：（1）圆环的速率v为$\sqrt{gR}$；
（2）导轨对圆形的作用力F的大小为$\frac{4mg}{3}$．

点评 本题考查了求圆环的速率、轨道对圆环的作用力，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；本题的难点，也是本题解题的关键是：应用数学知识求出C、D两点间的高度差、求出弹性绳的形变量．