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8．一个ω介子飞行时衰变成静止质量均为m的三个π介子，这三个π介子的动量共面，已知：衰变前后介子运动的速度都远小于光在真空中的速度c；衰变后的三个π介子的动能分别为T1、T2和T3，且第一、二个π介子飞行方向之间的夹角为θ1，第二、三个π介子飞行方向之间的夹角为θ2（如图所示）；介子的动能等于介子的能量与其静止时的能量（即其静止质量与c2的乘积）之差，求ω介子在衰变前的瞬间的飞行方向（用其飞行方向与衰变后的第二个介子的飞行方向的夹角即图中的φ角表示）及其静止质量．

分析 建立坐标系，运用正交分解，分别对x方向和y方向列二维运动的动量守恒定律

解答 解：以第二个π介子的飞行方向为x轴，以事件平面为x-y平面，设衰变前ω介子和衰变后三个π介子的动量大小分别为Pω、P1、P2和P3，衰变前后粒子在x和y方向的总动量分别守恒
Pωcosφ=P1cosθ1+P2+P3cosθ2  ①
-Pωsinφ=-P1sinθ1+P3sinθ2  ②
衰变前后粒子总能量守恒
mωc2+Tω=（mc2+T1）+（mc2+T2）+（mc2+T3）  ③
式中左端和右端三个圆括弧所示的量分别是衰变前ω介子和衰变后三个π介子的总能（静能与动能之和）．衰变前ω介子和摔后三个π介子的总能可由其动量和静止质量表示出来
Tω=$\frac{{P}_{ω}^{2}}{2{m}_{ω}}$ ④
T1=$\frac{{P}_{1}^{2}}{2{m}_{\;}}$  ⑤
T2=$\frac{{P}_{2}^{2}}{2{m}_{\;}}$  ⑥
T3=$\frac{{P}_{3}^{2}}{2{m}_{\;}}$  ⑦
分别由⑤⑥⑦式得
P1=$\sqrt{2{mT}_{1}}$ ⑧
P2=$\sqrt{2{mT}_{2}}$ ⑨
P3=$\sqrt{2{mT}_{3}}$ ⑩
由①②⑧⑨⑩式得
φ=arctan$\frac{\sqrt{{T}_{1}}sin{θ}_{1}-\sqrt{{T}_{3}}sin{θ}_{2}}{\sqrt{{T}_{1}}cos{θ}_{1}+\sqrt{{T}_{2}}+\sqrt{{T}_{3}}cos{θ}_{2}}$⑪
Pω=2m（T1+T2+T3）+4m[$\sqrt{{T}_{1}{T}_{3}}$cos（θ1+θ2）+$\sqrt{{T}_{1}{T}_{2}}$cosθ1+$\sqrt{{T}_{2}{T}_{3}}$cosθ2]⑫
由③④⑫式得
2c2${m}_{ω}^{2}$-2（3mc2+T1+T2+T3）mω+2m（T1+T2+T3）+4m[$\sqrt{{T}_{1}{T}_{3}}$cos（θ1+θ2）+$\sqrt{{T}_{1}{T}_{2}}$cosθ1+$\sqrt{{T}_{2}{T}_{3}}$cosθ2]=0⑬
其解为mω=$\frac{3}{2}$m+$\frac{1}{2{c}^{2}}$（T1+T2+T3）+$\sqrt{[\frac{3}{2}m+\frac{1}{2{c}^{2}}（{T}_{1}+{T}_{2}+{T}_{3}）]^{2}-\frac{{P}_{ω}^{2}}{2{c}^{2}}}$⑭式中，${P}_{ω}^{2}$由⑫式给出．
另一解mω～$\frac{{P}_{ω}}{c}$，与非相对论近似条件mωc2＜＜Pωc 矛盾，舍去．
答：ω介子在衰变前的瞬间的飞行方向与衰变后的第二个介子的飞行方向的夹角φ为arctan$\frac{\sqrt{{T}_{1}}sin{θ}_{1}-\sqrt{{T}_{3}}sin{θ}_{2}}{\sqrt{{T}_{1}}cos{θ}_{1}+\sqrt{{T}_{2}}+\sqrt{{T}_{3}}cos{θ}_{2}}$；
ω介子的静止质量为$\frac{3}{2}$m+$\frac{1}{2{c}^{2}}$（T1+T2+T3）+$\sqrt{[\frac{3}{2}m+\frac{1}{2{c}^{2}}（{T}_{1}+{T}_{2}+{T}_{3}）]^{2}-\frac{{P}_{ω}^{2}}{2{c}^{2}}}$（其中${P}_{ω}^{2}$由⑫式给出）．

点评 本题考查二维运动的动量守恒定律，要运用正交分解，分别在x方向和y方向列动量守恒，除此之外还要求大家掌握质能方程的运用、动量和动能之间的换算以及反三角函数的使用．

练习册系列答案
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