Question

20．如图所示，光滑固定斜面倾角为θ=37°，斜面上有两个完全相同的正方形线框P、Q用细线连接，P通过平行于斜面的细线绕过斜面顶端的定滑轮与一重物相连接，开始重物固定，线框处于静止，斜面上水平虚线MN上方有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，线框的边长及P线框最上边到MN的距离均为L，释放重物，使重物带动线框沿斜面向上运动，两个线框的质量均为m，每个线框的电阻均为R，重物的质量为2m，虚线上方的斜面足够长，重物离地面足够高，线框运动过程中，上边始终与MN平行，重力加速度为g，当线框P刚好要完全进入磁场的一瞬间，重物的加速度为零，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）线框P上边刚进入磁场时，重物的加速度多大？
（2）当线框P刚好完全进入磁场时，线框P中通过截面的电量及线框P中产生的焦耳热分别为多大？

Answer 1

分析 （1）线框在进入磁场之前，P、Q和重物组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律求出线框P上边刚进入磁场时的速度大小．根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式求出P上边所受的安培力，再根据牛顿第二定律求加速度．
（2）通过法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律，根据q=It求出线框进入磁场过程中通过线框的电量．

解答 解：（1）线框在进入磁场之前，对于P、Q和重物组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则得：
2mgL-2mgLsinθ=$\frac{1}{2}•4m{v}_{1}^{2}$
可得，线框P上边刚进入磁场时的速度大小为：v₁=$\sqrt{\frac{2}{5}gL}$
对于整体，由牛顿第二定律得加速度为：a=$\frac{2mg-2mgsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}}{4m}$
代入解得：a=$\frac{1}{5}$g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}$$\sqrt{\frac{2}{5}gL}$
（2）当线框P刚好完全进入磁场时，线框P中通过截面的电量为：
q=$\overline{I}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$=$\frac{B{L}^{2}}{R}$
线框P刚好要完全进入磁场的一瞬间，重物的加速度为零，线框的加速度也为零，受力平衡，则有：
2mgL-2mgLsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
可得此时线框的速度为：v₂=$\frac{0.8mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$ 
根据能量守恒定律得线框P中产生的焦耳热为：Q=2mg•2L-2mg•2Lsinθ-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{4mgL}{25}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$ 
答：（1）线框P上边刚进入磁场时，重物的加速度是$\frac{1}{5}$g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}$$\sqrt{\frac{2}{5}gL}$．
（2）当线框P刚好完全进入磁场时，线框P中通过截面的电量是$\frac{B{L}^{2}}{R}$，线框P中产生的焦耳热为$\frac{4mgL}{25}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 对于电磁感应与力学知识的综合，要正确分析线框的受力情况，利用安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求线框的速度是关键．本题物体较多，还要灵活选择研究对象．