Question

2．行星探测器是人类探测行星的主要工具．在某次探测过程中，探测器在靠近行星表面的轨道上做匀速圆周运动，经过t秒运动了N圈，已知该行星的半径为R，引力常量为G，求：
（1）探测器在轨道上运动的周期T；
（2）行星的质量M；
（3）行星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据探测器绕行星转动的圈数和时间求出探测器的周期．
（2）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出行星的质量．
（3）根据万有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：（1）探测器在轨道上运动的周期T=$\frac{t}{N}$；
（2）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
把T=$\frac{t}{N}$代入得，行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$．
（3）根据万有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
把M=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$代入得，g=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}R}{{t}^{2}}$．
答：（1）探测器在轨道上运动的周期T为$\frac{t}{N}$；
（2）行星的质量M为$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（3）行星表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}R}{{t}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．