Question

11．如图所示，在半径为R的光滑半圆轨道于高为10R的光滑斜轨道处于同一竖直平面内，两轨道之间用光滑轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上轻弹簧被a、b两小球挤压（不栓接）处于静止状态，现同时释放两小球，a恰好能通过最高点A；b恰好能到达B点．已知a的质量为m_a；b的质量为m_b；求：
（1）a球离开弹簧时的速度v_a 
（2）b球离开弹簧时的速度v_b
（3）弹簧的弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球a能通过最高点，由重力充当向心力，由向心力公式可得出小球a在A点的速度，由机械能守恒可得出小球a释放时的速度v_a；
（2）对b球，由机械能守恒可得出小球b的速度v_b；
（3）对系统由动量守恒可求得两小球的质量关系，由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）a球过恰好通过圆轨道最高点A时，有：
m_ag=m_a$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
则得：v_A=$\sqrt{gR}$
a球从C运动到A，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_av_C²=$\frac{1}{2}$m_av_A²+2m_agR
由以上两式求出：v_a=v_C=$\sqrt{5gR}$
（2）b球从D运动到B，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_bv_D²=m_bg×10R
求得：v_b=v_D=2$\sqrt{5gR}$
（3）弹簧的弹性势能为：E_p=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²
解得：E_ρ=2.5m_agR+10m_bgR 
答：（1）a球离开弹簧时的速度v_a为$\sqrt{5gR}$．
（2）b球离开弹簧时的速度v_b为2$\sqrt{5gR}$．
（3）弹簧的弹性势能E_p为2.5m_agR+10m_bgR．

点评 本题是机械能守恒定律和向心力的综合应用，关键要明确a球通过圆轨道最高点的临界条件：重力等于向心力．还要明确能量是如何转化的．