题目内容

15．如图所示，在竖直面内边界线OA的两侧存在方向相反的匀强电场，磁感应强度大小相同．已知OA与竖直线OC夹角为60°，B点为∠COA平分线上的点且OA=$\sqrt{3}$L，OB=L．一带正电的粒子质量为m，电量为q，从O点沿OC以初速度v0射入磁场，粒子恰好经过边界上的A点．撤去磁场加上与OAB在同一竖直面内的匀强电场，粒子仍以速度v0从O点沿OC射入时，粒子经过B点；若速度大小不变，改变粒子从O点射入的方向，粒子在电场中经过A点，且速度大小为$\sqrt{10}$v0，已知粒子从O到A动能的增加量是离子从O到B动能增加量的3倍．求：
（1）磁场强度B的可能值；
（2）O、A两点间的电势差；
（3）匀强电场场强的大小和方向．

分析 （1）粒子在方向相反的磁场中做顺、逆时针方向的匀速圆周运动，由几何关系若旋转整数次，恰能通过A点，由几何关系找出OA=n 2Rsin60°，从而由洛仑兹力提供向心力就能求出磁感应强度的可能值．
（2）由动能定理及题设条件的末速度就能求出OA两点的电势差．
（3）由题设条件及动能定理，当入射方向改变时，从而始末两点OB电势差，再由电势差与电场强度关系，从而求出匀强电场的大小．

解答 解：（1）带电粒子在下半部磁场中做一次匀速圆周运动轨迹如图所示，
每偏转一次沿OA方向移动2Rsin60°，若经过n次恰通过A点，由几何关系可知：
    n（2Rsin60°）=$\sqrt{3}L$
 由洛伦兹力提供向心力：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$  （n=1、2、3…）
（2）根据动能定理：qUOA=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：UOA=$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$
（3）根据动能定理：qUOB=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
因$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=3×（$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$）
故UOA=3UOB
根据匀强电场场强与电势的关系可知，将OA分为相等的3段，若OD=$\frac{1}{3}OA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，则D、B等电势
由余弦定理可知DB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
故等势面DB∥OC，故场强方向水平向右
UOA=E×$\sqrt{3}Lsin60°$
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$
答：（1）磁场强度B的可能值为$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1、2、3…）．
（2）O、A两点间的电势差是$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$．
（3）匀强电场场强的大小为$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，方向水平向右．

点评 本题的难点在第三问，变化之处有两点：先是将匀强磁场改为匀强电场，这样粒子通过A点的合位移为$\sqrt{3}L$，后是又改变了粒子的入射方向，同样已知粒子的合位移大小为L，由此可知末速度的关系，由动能定理及电势差与场强关系就能求出电场强度大小和方向．

练习册系列答案
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