Question

4．在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示．小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点．小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力．求：
（1）小球水平位移x₁与x₂的比值；
（2）小球从A点运动到B点的过程中最小动能E_kmin．

Answer 1

分析 （1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性可知从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．小球在水平方向上做初速为零的匀加速运动，由运动学公式位移公式，运用比例法求出x₁与x₂之比；
（2）分别研究A到M和A到B水平方向的分运动，由运动学公式速度位移关系式求出小球到达B点的速度，即可得到动能E_KB，根据速度的合成得到动能与时间的关系式，运用数学知识求极值，得到小球动能的最小值．

解答 解：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，设加速度为a，则x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
x₂=$\frac{1}{2}$a（2t）²-$\frac{1}{2}$at²
 所以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$
（2）由题知，$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$=8J，
得v_A=$\frac{4}{\sqrt{m}}$
又竖直方向上，有v_A=gt=$\frac{G}{m}t$，
所以$\frac{4}{\sqrt{m}}$=$\frac{G}{m}t$，①
$\frac{1}{2}$m${v}_{M}^{2}$=6J，
得v_M=$\sqrt{\frac{12}{m}}$
在水平方向上，有 v_M=at=$\frac{F}{m}$t，
则得$\sqrt{\frac{12}{m}}$=$\frac{F}{m}$t②
所以②：①得  $\frac{F}{G}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  
则sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$   
则小球从A到B过程最小速度一定与等效G′垂直，即图P点，故
E_kmin=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{min}^{2}$=$\frac{1}{2}m（vsinθ）^{2}$=$\frac{24}{7}$J           
答：（1）小球水平位移x₁与x₂的比值为1：3．
（2）小球从A点运动到B点的过程中最小动能E_kmin为$\frac{24}{7}$J．

点评 本题运用运动的合成和分解法处理，抓住竖直方向上运动的对称性得到时间关系是关键．对于第3题，也可以求出重力加速度与电场力加速度形成合加速度，当速度方向与合加速度方向垂直时速度最小，动能最小，再由运动学公式和牛顿第二定律结合求解．