Question

9．如图所示，在电子枪右侧依次存在加速电场，两水平放置的平行金属板和竖直放置的荧光屏．加速电场的电压为U₁．两平行金属板的板长、板间距离均为d．荧光屏距两平行金属板右侧距离也为d．电子枪发射的质量为m、电荷量为-e的电子，从两平行金属板的中央穿过，打在荧光屏的中点O．不计电子在进入加速电场前的速度及电子重力．

（1）求电子进入两金属板间时的速度大小v₀；
（2）若两金属板间只存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，求电子到达荧光屏的位置与O点距离的最大值y_m和此时磁感应强度B的大小；
（3）若两金属板间只存在竖直方向的匀强电场，两板间的偏转电压为U₂，电子会打在荧光屏上某点，该点距O点距离为y_m=$\frac{11}{6}$d，求此时U₁与U₂的比值；若使电子打在荧光屏上某点，该点距O点距离为d，只改变一个条件的情况下，请你提供一种方案，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）电子经电场加速后的速度可以通过动能定理求得；
（2）电子经磁场偏转后，沿直线运动到荧光屏，电子偏转的临界状态是恰好不撞在上板的右端，到达荧光屏的位置与O点距离即为最大值，磁感应强度可以通过圆周运动向心力公式和几何关系求得；
（3）应用类平抛运动规律与匀速运动规律分析答题．

解答 解：（1）设电子经电场加速后进入偏转场区的速度大小为v₀，
由动能定理得：$e{U_1}=\frac{1}{2}mv_0^2$  ①
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{{2e{U_1}}}{m}}$  ②
（2）偏转场区中只有匀强磁场时，电子进入磁场区受洛仑兹力作用做匀速圆周运动，经磁场偏转后，
沿直线运动到荧光屏．磁场的磁感应强度越大，偏转越大，电子偏转的临界状态是恰好从上板的右端射出，
做直线运动到达荧光屏．它的位置与O点距离即为最大值F，如图所示．

电子做圆周运动，有：${L_1}={L_0}-\frac{2mg}{k}$  ③
由图可：${（R-\frac{d}{2}）^2}+{d^2}={R^2}$  ④
$tanα=\frac{d}{{R-\frac{d}{2}}}=\frac{{{y_m}-\frac{d}{2}}}{d}$  ⑤
可得：$R=\frac{5}{4}d$，${y_m}=\frac{11}{6}d$  ⑥
由③式和 ${v_0}=\sqrt{\frac{{2e{U_1}}}{m}}$
解得：$B=\frac{{4m{v_0}}}{5ed}=\frac{4}{5d}\sqrt{\frac{{2m{U_1}}}{e}}$  ⑦
（3）偏转区内只有匀强电场时，电子进入偏转区做匀加速曲线运动，如图所示．

离开偏转电场时沿电场方向的位移$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{{U_2}e{d^2}}}{{2mdv_{_0}^2}}=\frac{{{U_2}e{d^2}}}{{4{U_1}ed}}=\frac{{{U_2}d}}{{4{U_1}}}$
速度方向偏转角设为θ，$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{{\frac{{{U_2}e}}{md}•\frac{d}{v_0}}}{v_0}=\frac{U_2}{{2{U_1}}}$
打到荧光屏的位置距O点的距离$Y=y+dtanθ=\frac{{3{U_2}d}}{{4{U_1}}}=\frac{d}{2}$  ⑧
可得：$\frac{U_1}{U_2}=\frac{3}{2}$，
由$Y=\frac{{3{U_2}d}}{{4{U_1}}}$可知，改变加速电压U₁或偏转电压U₂的大小，即可改变电子打到荧光屏的位置：
方案一：保持U₁的大小不变，将偏转电压U₂加倍即可．
方案二：保持U₂的大小不变，将加速电压U₁减半即可．
答：（1）电子进入两金属板间时的速度大小v₀为$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$；
（2）电子到达荧光屏的位置与O点距离的最大值y_m为：$\frac{11}{6}$d，此时磁感应强度B的大小为$\frac{4}{5d}\sqrt{\frac{2m{U}_{1}}{e}}$；
（3）此时U₁与U₂的比值为：3：2；保持U₁的大小不变，将偏转电压U₂加倍即可．

点评 该题涉及到带电粒子在电场和磁场的运动情况，对同学们的分析能力和数学功底要求较高，难度很大，属于难题．根据题意作出粒子的运动轨迹是正确解题的关键．