题目内容

6．aa′、bb′、cc′为足够长的匀强磁场分界线，相邻两分界线间距均为d，磁场方向如图所示，Ⅰ、Ⅱ区磁场感应强度分别为B和2B，边界aa′上有一粒子源P，平行于纸面向各个方向发射速率为$\frac{2Bqd}{m}$的带正电粒子，Q为边界bb′上一点，PQ连线与磁场边界垂直，已知粒子质量m，电量为q，不计粒子重力和粒子间相互作用力，求：
（1）沿PQ方向发射的粒子飞出Ⅰ区时经过bb′的位置；
（2）粒子第一次通过边界bb′的位置范围；
（3）进入Ⅱ区的粒子第一次在磁场Ⅱ区中运动的最长时间和最短时间．

分析 （1）由洛仑兹力提供向心力和题设条件求得半径，圆心在P点正下方，由由几何关系就能求出沿水平方向射出后向下偏离的距离．
（2）由于粒子的速度方向不定，但半径一定．根据粒子旋转的方向（在Ⅰ区顺时针，在Ⅱ区逆时针）先确定向上打到的最高点，即沿着竖直向上方向射出的粒子，据此由几何关系求出最高点偏离P点的距离；再确定最低点，显然当轨迹与bb′相切时，该点为最低点．
（3）要使粒子在Ⅱ区运动的时间最长和最短，则要求在该区做圆周运动的弦长最长和最短，由磁感应强度的关系求出在该区做圆周运动的半径．从而求出最长和最短的时间．

解答 解：（1）由洛伦兹力充当向心力得：
   $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$             
   $R=\frac{mv}{qB}$               
  把$v=\frac{2Bqd}{m}$代入得r1=2d
  如图所示可得：
   $sinθ=\frac{d}{2d}=\frac{1}{2}$
   θ=30°
   $PM=QN=2d-2dcosθ=（2-\sqrt{3}）d$          
  所以，经过bb′的位置为Q下方$（2-\sqrt{3}）d$
（2）当正电粒子速度竖直向上进入磁场Ⅰ，距离Q点上方最远：
  由几何关系得：$cos{α}_{1}=\frac{d}{2d}=\frac{1}{2}$
   α1=60°
  $Q{H}_{1}=2dsin{α}_{1}=\sqrt{3}d$      
  当正电粒子进入后与bb′相切时，距离Q点下方最远：
  由几何关系得：$cos{α}_{2}=\frac{d}{2d}=\frac{1}{2}$
  α2=60°
  $Q{H}_{2}=2dsin{α}_{2}=\sqrt{3}d$         
  所以有粒子通过的范围长度为$L=2\sqrt{3}d$
（3）同理：在磁场Ⅱ中的半径：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}=d$        
 周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{πm}{qB}$           
  轨迹圆所对应的弦越长，在磁场Ⅱ中的时间越长．
  当轨迹圆的弦长为直径时，所对应的时间最长为：
  ${t}_{max}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{2qB}$          
  当轨迹圆的弦长为磁场Ⅱ的宽度时，从ccˊ飞出所对应的时间最短为：
   ${t}_{min}=\frac{T}{6}=\frac{πm}{6qB}$
  从bbˊ飞出所对应的时间最短为${t_{min}}=\frac{T}{3}=\frac{πm}{3qB}$
  所以：最短时间为${t_{min}}=\frac{πm}{6qB}$
答：（1）沿PQ方向发射的粒子飞出Ⅰ区时经过bb′的位置为Q下方$（2-\sqrt{3}）d$．
（2）粒子第一次通过边界bb′的位置范围为$2\sqrt{3}d$．
（3）进入Ⅱ区的粒子第一次在磁场Ⅱ区中运动的最长时间为$\frac{πm}{2qB}$、最短时间为$\frac{πm}{6qB}$．

点评 本题的靓点在于第二、三问：①粒子的速度大小一定，但方向不同，在考虑打在bb′最高和最低位置时，先要确定粒子旋转的方向，还需比较半径与宽度的关系，才能找到正确答案，再由几何关系求出打在bb′上的范围．②由于在Ⅱ区做匀速圆周运动的半径不同，求最长时间时，也要先确定粒子的旋转方向、宽度与半径的关系：当轨迹圆的弦长为直径时，所对应的时间最长； 当轨迹圆的弦长为磁场Ⅱ的宽度时，从ccˊ飞出所对应的时间最短．

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