Question

12．如图所示，轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M=2kg的小车a，开始时小车静止，其左端位于O点，弹簧没有发生形变，O点右侧地面光滑，O点左侧地面粗糙．质量为m=1kg的小物块b（可看做质点）静止于小车的左侧，距O点s=3m，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g=10m/s²．今对小物块施加大小为F=8N的水平恒力使之向右运动，并在与小车发生完全弹性碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞时间极短，弹簧始终没有超出弹性限度，求：
（1）小物块与小车碰撞前瞬间的速度是多大？
（2）运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？
（3）小物块b在整个运动过程中的运动时间？

Answer 1

分析 （1）应用动能定理可以求出碰撞前的速度．
（2）碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出弹性势能．
（3）应用牛顿第二定律与运动学公式求出运动时间．

解答 解：（1）设碰撞前瞬间，小物块b的速度为v₁，小物块从静止开始运动到刚要与小车发生碰撞的过程中，
根据动能定理得：$Fs-μmgs=\frac{1}{2}mv_1^2$  ①，
代入数据解得：v₁=6m/s ②
（2）由小物块与小车组成的系统在碰撞过程中动量守恒，机械能守恒，
设小物块b与小车a碰撞后瞬间，小车a的速度为v₂，小物块的速度为v₃，设向右为正方向
根据动量守恒定律得：mv₁=mv₃+Mv₂ ③
根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_3^2+\frac{1}{2}Mv_2^2$  ④
由③④代入数据解得：v₂=4m/s，v₃=-2m/s；
根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧的最大弹性势能：
E_P=$\frac{1}{2}$Mv₂²，代入数据解得：E_P=16J　⑤
（3）设小物块b与小车a碰撞前的运动时间为t₁，加速度为a₁，碰撞后运动时间为t₂，加速度为a₂，
由牛顿第二定律得：F-μmg=ma₁  ⑥
由匀变速直线运动的位移公式得：$s=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$          ⑦
由⑥⑦解得：t₁=1s-μmg=-ma₂ ⑧v₃=a₂t₂　　⑨
由⑧⑨可得t₂=1s，小物块b在整个运动过程中的运动时间t=t₁+t₂=2s；
答：（1）小物块与小车碰撞前瞬间的速度是6m/s；
（2）运动过程中弹簧最大弹性势能是16J；
（3）小物块b在整个运动过程中的运动时间为2s．

点评 考查动能定理、牛顿第二定律及运动学公式的应用，掌握动量守恒定律与机械能守恒定律的方法与判定条件．