Question

2．如图，在0≤x≤a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场；磁感应强度的大小为B；在x＞a的区域有垂直于纸面向外的均强磁场，磁感应强度的大小也为B．质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子沿x轴从原点O射入磁场，不计重力．
（1）若粒子在磁场中的轨道半径为$\sqrt{2}$a，求其轨迹与x轴交点的横坐标；
（2）为使粒子返回原点，粒子的入射速度应为多大？

Answer 1

分析 （1）根据粒子在0＜x≤a中运动半径求出其对应的圆心角，通过x＞a的区域后，离开磁场时与x轴垂直，说明圆心在x轴上，根据几何关系即可求得坐标；
（2）根据题干确定粒子的运动轨迹，结合几何关系求出粒子的半径，进而确定初速度．

解答 解：（1）带电粒子的运动轨迹如图甲所示，O1、O2分别为轨迹的圆心，由几何关系可得θ=45°．
O₁A=O₂A=2a
${O}_{2}B=AO={O}_{1}A-R=（2-\sqrt{2}）a$
则$BC=\sqrt{{R}^{2}-[（2-\sqrt{2}）a]^{2}}=2\sqrt{\sqrt{2}-1}a$
则轨迹与x轴交点横坐标为：
$x={O}_{2}A+BC=2（1+\sqrt{\sqrt{2}-1}）a$
（2）粒子的运动轨迹如图乙所示，设此时轨迹半径为r，则由
几何关系可得
r-rcosθ=rcosθ
则cos$θ=\frac{1}{2}$，即θ=60°
则轨迹半径$r=\frac{a}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
而$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
则$v=\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$
答：（1）其轨迹与x轴交点的横坐标为$2（1+\sqrt{\sqrt{2}-1}）a$；
（2）为使粒子返回原点，粒子的入射速度应为$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．

点评 此题数理融合得较好，能较好地考查学生的理解推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力．带电粒子在电场、磁场、复合场中的运动，是重点类大学自主招生的重要考点之一．借助于几何图形，借助于数学知识，往往可以找到解题的途径．因此，对于带电粒子在电场、磁场、复合场中的运动，需要注重提高学生的数形结合思想．