Question

4．滑板运动员在U形槽中的运动可以简化成一个物块在半径为R的半圆弧槽中的运动，半圆弧槽始终静止不动，若物块在半圆弧槽最低点B的速度为v₀，物块的质量为m，物块与圆弧槽的动摩擦因数为μ，求：
（1）物块在最低点对半圆弧槽的压力；
（2）物块在圆弧槽最低点的加速度大小．
（3）若物块在C点对圆弧槽的压力大小等于mg，则物块从C点抛出后经多长对间还能回到C点？

Answer 1

分析 （1）物块在最低点时，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对物块的支持力，再由牛顿第三对半圆弧槽的压力；
（2）由a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$求物块在圆弧槽最低点时的向心加速度大小，由牛顿第二定律求出切向加速度大小，再合成求加速度大小．
（3）物块在C点时由轨道的弹力提供向心力，由牛顿第二定律求物块经过C点时的速度，之后物体作竖直上抛运动，由运动学公式求时间．

解答 解：（1）物块在最低点时，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律得物块在最低点对半圆弧槽的压力为：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）物块在圆弧槽最低点时的向心加速度大小为：a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
切向加速度大小为：a_T=$\frac{μN}{m}$=μ（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$）
故所求的加速度大小为：a=$\sqrt{{a}_{n}^{2}+{a}_{T}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$
（3）设物块经过C点时的速度为v．由牛顿第二定律得：N_C=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由题有：N_C=mg
得：v=$\sqrt{gR}$
所以物块从C点抛出后回到C点的时间为：t=$\frac{2v}{g}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：（1）物块在最低点对半圆弧槽的压力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）物块在圆弧槽最低点的加速度大小是$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$．
（3）物块从C点抛出后经2$\sqrt{\frac{R}{g}}$时间还能回到C点．

点评 解决本题的关键要明确物块在最低点时向心力来源：合力提供向心力，要注意物块在最低点的加速度是由合力产生，要运用正交分解法求合加速度．