题目内容
16．
一个光滑直槽长为L，固定在水平面上，直槽两端有竖直挡板，槽内有两个质量相同的光滑小球．设水平向右为x轴正方向，初始时小球1位于x=0处，速度为v，运动方向向右；小球2位于x=L处，速度为2v，运动方向向左，如图所示．小球间的碰撞是完全弹性的（碰撞前后速度交换方向相反），而小球每次与槽壁的碰撞结果都会使小球速度减半的返回，求：在哪些时间段内两小球的速度大小、方向相同？对应这些时间段的速度大小为多少？
分析 由于两个小球每一次碰撞后都交换速度，相对于两个小球在碰撞的过程中相互“穿过”对方继续向前运动，然后结合匀速直线运动的位移公式，逐次讨论各次碰撞的位置以及到达槽的时间即可．
解答 解：由于两个质量相同的光滑小球间的碰撞是完全弹性的（碰撞前后速度交换方向相反），所以当两个小球碰撞后，两个小球组成的系统相对于相互“穿过”了对方，所以在第一次碰撞后小球1以2v返回左侧的时间：
${t}_{11}=\frac{L}{2v}$，球1与槽碰撞后的速度变成v方向向右；
球2返回第一次右侧的时间：${t}_{21}=\frac{L}{v}$，球1与槽碰撞后的速度变成$\frac{v}{2}$方向向左，
所以两个小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$的时间内速度相等，速度的大小为v，方向向右；
在t12时刻小球1的到O点距离：${x}_{1}=v（{t}_{12}-{t}_{11}）=\frac{L}{2}$
所以在两个小球发生第二次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{2}$方向向左，小球2的速度是v方向向右；小球2返回右侧的时间：${t}_{22}={t}_{11}+\frac{L}{v}=\frac{3L}{2v}$，与槽发生第二次碰撞后的速度变成$\frac{v}{2}$，方向向左；
小球1第二次返回左侧的时间：${t}_{12}={t}_{21}+\frac{L}{\frac{v}{2}}=\frac{3L}{v}$．与槽发生第二次碰撞后的速度变成$\frac{v}{2}$，方向向右；
可知在：$\frac{3L}{2v}＜t＜\frac{3L}{v}$的时间内速度也相等，速度变成$\frac{v}{2}$，方向向左；
在两个小球发生第三次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{2}$方向向左，小球2的速度是$\frac{v}{4}$方向向右；小球2返回右侧的时间：${t}_{23}={t}_{12}+\frac{L}{\frac{v}{4}}=\frac{7L}{v}$，与槽发生第三次碰撞后的速度变成$\frac{v}{8}$，方向向左；
小球1第三次返回左侧的时间：${t}_{13}={t}_{22}+\frac{L}{\frac{v}{2}}=\frac{7L}{2v}$＜t23．与槽发生第三次碰撞后的速度变成$\frac{v}{4}$，方向向右；
可知在：$\frac{7L}{2v}＜t＜\frac{7L}{v}$的时间内速度也相等，速度变成$\frac{v}{4}$，方向向右；
在两个小球发生第四次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{8}$方向向左，小球2的速度是$\frac{v}{4}$方向向右；小球2返回右侧的时间：${t}_{24}={t}_{13}+\frac{L}{\frac{v}{4}}=\frac{15L}{2v}$，与槽发生第四次碰撞后的速度变成$\frac{v}{8}$，方向向左；
小球1第四次返回左侧的时间：${t}_{14}={t}_{23}+\frac{L}{\frac{v}{8}}=\frac{15L}{v}$＞t24．与槽发生第四次碰撞后的速度变成$\frac{v}{16}$，方向向右；
可知在：$\frac{15L}{2v}＜t＜\frac{15L}{v}$的时间内速度也相等，速度变成$\frac{v}{8}$，方向向左；
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由以上的分析可知，两个小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$以及$\frac{（{n}^{2}-1）L}{2v}＜t＜\frac{（{n}^{2}-1）L}{v}$（n=2，3，4…）的时间内速度是相等的．对应的速度的大小分别为：v，$\frac{v}{2}$，$\frac{v}{4}$••$\frac{v}{{2}^{n-1}}$（n=2，3，4…）（n为两个小球的碰撞次数）
答：两个小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$以及$\frac{（{n}^{2}-1）L}{2v}＜t＜\frac{（{n}^{2}-1）L}{v}$（n=2，3，4…）的时间内速度是相等的．对应的速度的大小分别为：v，$\frac{v}{2}$，$\frac{v}{4}$••$\frac{v}{{2}^{n-1}}$（n=2，3，4…）（n为两个小球的碰撞次数）．
点评 该题借助与碰撞模型考查匀速直线运动的规律，解答的关键是要分析清楚小球运动的特点，抓住运动的规律解答．
阅读快车系列答案| A． | 匀速直线运动 | B． | 匀加速直线运动 | ||
| C． | 匀减速直线运动 | D． | 加速度均匀减小的变加速直线运动 |
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| A． | 一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等 | |
| B． | 两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等 | |
| C． | 一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 | |
| D． | 两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 |
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| C． | 两个小分队运动的位移相同 | D． | 两个小分队运动的平均速度相同 |
| A． | 弹力做的功一定为零 | |
| B． | 弹力做的功可能是零到$\frac{1}{2}$mv2之间的某一值 | |
| C． | 弹簧振子的动能变化大小可能是零到$\frac{1}{2}$mv2之间的某一值 | |
| D． | 弹簧振子的势能变化大小为零 |