题目内容
18．
如图所示，在xOy平面内以原点O为圆心，R为半径的圆形区域内，存在一匀强磁场磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面向里，在x=2R处有一平行于y轴的光屏，在原点沿y轴正方向发射电子，已知电子的电荷量为e，质量为m．（1）如果电子能射出磁场区域，求发射速度v的范围．
（2）若发射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，则电子到达光屏的位置到x轴的距离是多少（用R表示）？
（3）若电子垂直打在光屏上，则电子的发射速度为多大？
分析 （1）根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式$r=\frac{mv}{qB}$可知，粒子的速度越大，半径越大，结合运动轨迹的几何关系，即可求出速度的范围；
（2）将速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$代入粒子运动的半径公式，画出运动的轨迹，结合几何关系即可求出电子到达光屏的位置；
（3）若电子垂直打在光屏上，则电子射出磁场的速度方向沿x轴的方向，做出运动的轨迹，结合几何关系求出粒子运动的半径，然后由半径公式即可求出电子的发射速度．
解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$Bev=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{eB}$
可知粒子运动的速度越大，轨道的半径越大，当粒子运动的轨道半径与磁场的边界相切时，是粒子刚好不能射出磁场的临界条件，此时粒子轨道的半径：${r}_{1}=\frac{R}{2}$
所以，如果电子能射出磁场区域，发射速度应满足：$v＞\frac{Be{r}_{1}}{m}=\frac{BeR}{2m}$
（2）若发射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，则电子在磁场中运动的轨迹的半径：
${r}_{2}=\frac{mv}{eB}=\frac{m}{eB}•\frac{BeR}{m}=R$
做出粒子运动的轨迹如图1，
设该轨迹与磁场的边界交于A点，粒子射出磁场后打在光屏上的C点，AC反向延长，与x轴交于D点，由几何关系可知，AO′=r2=R=OO′=OA
所以△OAO′是等边三角形，∠AO′O=60°，
由于O′A⊥AC，则∠ADO=30°，所以D点恰好在磁场的最左侧边界上，D到光屏的距离为3R，所以C点到x轴的距离：$L=3R•tan30°=\sqrt{3}R$
（3）若电子垂直打在光屏上，则电子射出磁场的速度方向沿x轴的方向，粒子偏转的角度是90°，做出运动的轨迹如图2，与磁场的边界交于P点，设P点的坐标（x，y）则由几何关系可知，x=y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=R$
所以：$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
即粒子轨道的半径：${r}_{3}=x=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
则电子的发射速度：$v′=\frac{Be{r}_{3}}{m}=\frac{\sqrt{2}BeR}{2m}$
答：（1）如果电子能射出磁场区域，发射速度v的范围是$v＞\frac{BeR}{2m}$．
（2）若发射速度v=$\frac{{B}_{e}R}{m}$，则电子到达光屏的位置到x轴的距离是$\sqrt{3}R$；
（3）若电子垂直打在光屏上，则电子的发射速度为$\frac{\sqrt{2}BeR}{2m}$
点评 带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供做匀速圆周运动，同时结合数学几何关系来构建长度关系．注意运动圆弧的半径与磁场半径的区别．
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