Question

11．如图所示，足够长光滑斜面与水平面的夹角为37°，斜面下端与半径R=0.50m的半圆形凹槽平滑相接，相接点为A，半圆形凹槽的最低点为B，半圆形凹槽的最高点为C，已知sin37°=0.60，cos37°=0.80，g=10m/s²．
（1）若将质量为m=0.10kg的小球从斜面上距离A点为l=2.0m的D点由静止释放，则小球到达半圆形凹槽最低点B时，对凹槽的压力多大？
（2）要使小球经过凹槽最高点C时不能脱离凹槽，则小球经过C点时速度大小应满足什么条件？
（3）当小球经过C点处的速度大小为多大时，小球与斜面发生一次弹性碰撞后还能沿原来的运动轨迹返回C点？

Answer 1

分析 （1）小球从D运动到B过程，只有重力做功，机械能守恒，由此求出小球到达B点时的速度，再由牛顿运动定律求小球到达半圆形凹槽最低点B时对凹槽的压力．
（2）要使小球经过凹槽最高点C时不能脱离凹槽，经过C点时向心力不小于重力的径向分力．由牛顿第二定律求解．
（3）小球与斜面发生弹性碰撞后还能沿原来的运动轨迹返回C点，小球的速度必须与斜面垂直．由斜抛运动的规律和速度条件结合求解．

解答 解：（1）小球从D运动到B过程，由机械能守恒，得：
mg[lsin37°+R（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，有 N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立得：N=6.2N
由牛顿第三定律得：小球到达半圆形凹槽最低点B时对凹槽的压力 N′=N=6.2N
（2）要使小球经过凹槽最高点C时不能脱离凹槽，必有满足 mgcos37°≤m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
即得 v_C≥$\sqrt{gRcos37°}$=$\sqrt{10×0.5×0.8}$=2m/s
（3）小球与斜面发生弹性碰撞后还能沿原来的运动轨迹返回C点，小球的速度必须与斜面垂直．
建立如图的坐标系．
则x轴方向的分加速度为 a_x=-gsin37°，
y轴方向的分加速度为 a_y=gcos37°
且有 v_C+a_xt=0，2R=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$
联立解得 v_C=12m/s
答：
（1）小球到达半圆形凹槽最低点B时，对凹槽的压力为6.2N．
（2）小球经过C点时速度大小应满足的条件是：v_C≥2m/s．
（3）当小球经过C点处的速度大小为12m/s时，小球与斜面发生一次弹性碰撞后还能沿原来的运动轨迹返回C点．

点评 解决本题的关键理清物块的运动过程，把握隐含的临界条件，明确小球到达C点的临界条件是轨道对小球没有作用力，由重力的径向分力提供向心力．小球只有垂直撞上斜面，才能沿原路返回．对斜抛要灵活选择坐标系，使得以简化．