Question

9．嫦娥工程划为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T．若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则（　　）

• A． “嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为$\frac{2πR}{T}$
• B． 物体在月球表面自由下落的加速度大小为$\frac{{4{π^2}{{（{R+h}）}^3}}}{{R{T^2}}}$
• C． 月球的第一宇宙速度为$\frac{{2π（{R+h}）}}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
• D． 月球的平均密度为$\frac{3π}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 “嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r=R+h，由公式v=$\frac{2πr}{T}$求解速度大小；根据万有引力等于向心力列式，可求得月球的质量，由重力等于向心力，可求得在月球上发射卫星的最小发射速度；根据重力等于万有引力可求得物体在月球表面自由下落的加速度大小；根据密度公式求解月球的平均密度．

解答 解：A、“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r=R+h，则它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为 v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π（R+h）}{T}$，故A错误．
B、对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R+h    ①
在月球表面，重力等于万有引力，则得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg  ②
由①②解得：g=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{{R}^{2}T}^{2}}$，故B错误；
C、由万有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ③
由①③解得v=$\frac{{2π（{R+h}）}}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$，故C正确；
D、月球的质量为M=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}^{2}}$，月球的平均密度为ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，列式进行求解．