Question

18．半径为R的光滑半球形碗，固定于水平桌面上，一根长为L的光滑匀质棒，一端在碗内，一端在碗外，斜靠在碗缘，求平衡时棒与水平面的夹角θ．

Answer 1

分析 以杆为研究对象进行受力分析，根据水平方向受力平衡列方程，再根据力矩的平衡条件列方程，由几何关系得到碗内杆的长度，再列方程求解．

解答 解：以杆为研究对象，进行受力分析如图所示，

杆在水平方向受力平衡可得：Ncos2θ=Tsinθ①
设杆的中心为O，OB长度为x，以O点为支点，根据力矩的平衡条件可得：
N$•\frac{L}{2}$•sinθ=T•x ②
根据几何关系可得2Rcosθ=$\frac{L}{2}$+x ③
由于cosθ=cos²θ-sin²θ，
整理可得2cos²θ-$\frac{L}{4R}cosθ$-1=0，
解得：cosθ=$\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}$
所以θ=$arccos（\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}）$．
答：平衡时棒与水平面的夹角θ为$arccos（\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}）$．

点评 本题主要是考查了共点力的平衡问题，解答此类问题的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、利用平行四边形法则进行力的合成或者是正交分解法进行力的分解，然后在坐标轴上建立平衡方程进行解答．