Question

15．如图所示，光滑固定斜面倾角为θ=37°，斜面上有两个完全相同的正方形线框P、Q用细线连接，P通过平行于斜面的细线绕过斜面顶端的定滑轮与一重物相连接，开始重物固定，线框处于静止，斜面上水平虚线MN上方有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，线框的边长为L，线框间连线长及P线框最上边到MN的距离也为L，释放重物，使重物带动线框沿斜面向上运动，两个线框的质量均为m，每个线框的电阻均为R，重物的质量为2m，虚线上方的斜面足够长，重物离地面足够高，线框运动过程中，上边始终与MN平行，重力加速度为g，当线框P刚好要完全进入磁场的一瞬间，重物的加速度为零，求：
（1）线框P上边刚进入磁场时，重物的加速度多大？
（2）当线框P进入磁场的过程中，线框P中通过截面的电量及线框P中产生的焦耳热分别为多大？
（3）如果线框Q进入磁场的过程所用的时间为t，则线框Q刚好完全进入磁场时的速度多大？

Answer 1

分析 （1）根据系统机械能守恒求出线框P上边刚进入磁场时的速度，结合切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律求出安培力，分别隔分析，运用牛顿第二定律求出重物的加速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电量的公式求出当线框P进入磁场的过程中，线框P中通过截面的电量；抓住线框P刚完全进入磁场时加速度为零，根据平衡求出速度，对系统，运用能量守恒求出产生的焦耳热．
（3）根据能量守恒求出线框Q刚进入磁场的速度，然后根据牛顿第二定律，运用微分思想求出线框Q刚好完全进入磁场时的速度．

解答 解：（1）线框P上边刚进入磁场时，根据机械能守恒有：
$2mgL-2mgLsinθ=\frac{1}{2}×4m{{v}_{1}}^{2}$，
对重物，根据牛顿第二定律有：
2mg-T=2ma，
对于两个线框，有：T-2mgsinθ-F_安=2ma，
对于P线框回路：E=BLv₁，$I=\frac{E}{R}$，
P线框所受的安培力F_安=BIL，
联立解得a=$\frac{g}{5}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}\sqrt{\frac{2}{5}gL}$．
（2）在线框P进入磁场的过程中，由q=$\overline{I}△t$，$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$得：q=$\frac{△Φ}{R}=\frac{B{L}^{2}}{R}$，
当线框P刚要完全进入磁场的一瞬间，重物的加速度为零，则有：
$2mg×2L-2mg×2Lsinθ=\frac{1}{2}×4m{{v}_{2}}^{2}+$Q₁，
$2mg=2mgsinθ+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$，
解得：Q₁=$\frac{8}{5}mgL-\frac{32{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$．
（3）设线框Q刚进入磁场时的速度为v₃，刚好完全进入磁场时的速度为v₄，则：
2mg×3L-2mg×3Lsinθ=$\frac{1}{2}×4m{{v}_{3}}^{2}+{Q}_{1}$，
线圈Q进入磁场的过程中，$2mg-2mgsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=4ma$，
$0.8mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=4m\frac{△v}{△t}$，
$0.8mg∑△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}∑v△t=4m∑△v$，即$0.8mgt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}=4m（{v}_{4}-{v}_{3}）$，
联立解得v₄=$0.2gt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}+\sqrt{\frac{2}{5}gL+\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}}$．
答：（1）线框P上边刚进入磁场时，重物的加速度为$\frac{g}{5}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}\sqrt{\frac{2}{5}gL}$；
（2）当线框P进入磁场的过程中，线框P中通过截面的电量为$\frac{B{L}^{2}}{R}$，线框P中产生的焦耳热为$\frac{8}{5}mgL-\frac{32{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）如果线框Q进入磁场的过程所用的时间为t，则线框Q刚好完全进入磁场时的速度为$0.2gt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}+\sqrt{\frac{2}{5}gL+\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}}$．

点评 对于电磁感应与力学知识的综合，要正确分析线框的受力情况，利用安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求线框的速度是关键．本题物体较多，还要灵活选择研究对象．