Question

6．如图，一轻质弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为$\frac{24}{23}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{4}$，重力加速度大小为g．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）求AE的长度；
（2）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．P刚好可以沿着圆弧轨道到达最高点D处．求改变后P的质量．

Answer 1

分析 （1）对物块从C开始最终运动到F的过程应用动能定理即可求解；
（2）对物块从C到E的运动过程应用动能定理求得弹性势能，对物块在D点应用牛顿第二定律求得速度，然后对物块从E运动到D应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）设AE的长度为x，那么物块P从C到E再回到F的过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：3mgRsin37°-μmgcos37°•（7R-x+4R-x）=0，所以，x=R；
（2）对物块P从C到E的过程应用动能定理可得：物块在E点时弹簧的弹性势能E_p=mg（7R-R）sin37°-μmgcos37°•（7R-R）=2.4mgR；
改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放，弹簧的压缩量不变，故弹性势能不变；
设改变后P的质量为m′，P刚好可以沿着圆弧轨道到达最高点D处对物块在D处应用牛顿第二定律可得：$m′g=\frac{m′{{v}_{D}}^{2}}{\frac{24}{23}R}$；
对物块从E到D的运动过程应用动能定理可得：${E}_{p}-m′g[（7R-R）sin37°+\frac{24}{23}R（1+cos37°）]-μm′gcos37°（7R-R）=\frac{1}{2}m′{{v}_{D}}^{2}$；
所以，$2.4mgR-3.6m′gR-\frac{24×1.8}{23}m′gR-1.2m′gR$=$\frac{12}{23}m′gR$；
所以，2.4mgR=7.2m′gR，所以，$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）AE的长度为R；
（2）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．P刚好可以沿着圆弧轨道到达最高点D处．改变后P的质量为$\frac{1}{3}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．