Question

3．如图所示，足够长的光滑斜面BC倾角为θ，固定面AB垂直于斜面．在斜面上放置质量为m的长木板，木板中央放置质量为m的小物块，木板和小物块间的动摩擦因数μ=$\frac{3}{2}$tanθ，现同时给木板和小物块沿斜面向上的初速度v₀．假设木板与固定面AB发生碰撞的时间极短，碰撞前后瞬间速率相等，运动过程中小物块始终没有从木板上滑落．已知重力加速度为g，求：
（1）木板第一次上升的最大高度；
（2）木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率．

Answer 1

分析 （1）木板和小物块第一次上升过程中，无相对运动，木板机械能守恒，可求得最大高度．
（2）木板与AB发生第一次碰撞前，木板和小物块均无相对运动，且机械能守恒．木板与AB发生第一次碰撞后仍以速度v₀向上减速运动，小物块则以速度v₀向下减速运动．由牛顿第二定律求得两者的加速度．分析木板的运动情况，求出第一次碰撞后两者速度相等所用时间，再速度位移公式求木板上滑的距离和木板上滑的距离，从而分析两者的运动情况，再得到木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率．

解答 解：（1）木板和小物块第一次上升过程中，无相对运动，木板机械能守恒，有
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
（2）木板与AB发生第一次碰撞前，木板和小物块均无相对运动，且机械能守恒．木板与AB发生第一次碰撞后仍以速度v₀向上减速运动，小物块则以速度v₀向下减速运动．设此时木板上滑、小物块下滑的加速度大小分别为a₁、a₂，由牛顿第二定律有
 mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
  μmgcosθ-mgsinθ=ma₂
因为a₁＞a₂，所以木板先减速到零．之后小物块仍以加速度a₂向下减速，木板则以加速度a₁向下加速．设沿斜面向下为正方向，速度相等时的速度为v，所用时间为t，有
  v=-v₀+a₁t
  v=v₀-a₂t
解得 v=$\frac{2}{3}{v}_{0}$≈0.67v₀；
木板上滑的距离 x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5gsinθ}$
木板下滑的距离 x₂=$\frac{（\frac{2}{3}{v}_{0}）^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{45gsinθ}$
则△x=x₁-x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{9gsinθ}$
此后木板和小物块共同向下匀加速运动，直至木板第二次与AB发生碰撞，设木板第二次与AB发生碰撞时的速率为v₂，则
  ${v}_{2}^{2}-（\frac{2}{3}{v}_{0}）^{2}$=2gsinθ•△x
解得 v₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$
答：
（1）木板第一次上升的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）木板第二次与固定面AB发生碰撞时的速率是$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$．

点评 本题是两个物体多个过程的问题，分析物体的运动过程是基础，把握临界条件是解题的关键，解题的基本规律是牛顿第二定律和运动学公式．