Question

5．月球自转周期T与它绕地球做匀速圆周运动的公转周期相同，假如“嫦娥四号”卫星在近月轨道（轨道半径近似为月球半径）做匀速圆周运动的周期为T₀，如图所示，PQ为月球直径，某时刻Q点离地面O最近，且P、Q、O共线，月球表面的重力加速度为g₀，万有引力常量为G，则（　　）

• A． 月球的密度为ρ=$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• B． 月球的第一宇宙速度$v=\frac{{{g_0}{T_0}}}{2π}$
• C． 从图示位置开始计时经过$\frac{T}{2}$，P点离地心O是最近的
• D． 要使“嫦娥四号”卫星在月球的背面P点着陆，需提前加速

Answer 1

分析 根据重力提供向心力求出月球半径的表达式，结合万有引力等于向心力求出月球的质量，根据密度公式求地球密度；根据重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．抓住月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，再经 $\frac{T}{2}$时，P点离地心O是最近还是最远．

解答 解：A、月球绕地球做匀速圆周运动的公转周期为T，设轨道半径为r，地球半径为R，根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得地球质量为：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，地球的体积为：$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，月球的密度为：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，其中月球的轨道半径与地球半径不相等，所以$ρ≠\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故A错误；
B、根据mg₀=mR $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$得月球的半径为：R=$\frac{{g}_{0}^{\;}{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$，根据$m{g}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度为：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{g}_{0}^{\;}R}$=$\frac{{g}_{0}^{\;}{T}_{0}^{\;}}{2π}$，故B正确．
C、月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，再经$\frac{T}{2}$时，P点离地心O最远，故C错误．
D、要使“嫦娥四号”卫星在月球的背面P点着陆，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动．故D错误．
故选：B．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力、万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用，知道月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，月球公转半圈，自转半圈．