Question

3．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圆形轨道，BC段是高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度沿水平方向，速率为2m/s，g=10m/s²，求：
（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力；
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中实线所示），小球离开B点后能落到斜面上，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合竖直上的合力提供向心力求出支持力的大小，从而得出小球对B点的压力大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合B点的速度和时间求出水平距离．
（3）抓住竖直位移和水平位移关系求出运动的时间，结合水平位移求出落点距离B点的距离．

解答 解：（1）设小球到达B点时受重力G和竖直向上的弹力F作用，
由牛顿第二定律知：F_向=F-G=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
代入数据解得F=6 N
由牛顿第三定律知小球对圆形轨道的压力大小为6 N  
方向竖直向下．
（2）小球离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点距离为x
由h=$\frac{1}{2}$g${{t}_{1}}^{2}$得，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$
x=v_Bt₁=2×1m=2 m
（3）假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
Lcos θ=v_Bt₂
Lsin θ=$\frac{1}{2}$gt²
联立两式得t₂=0.4 s
L=0.8$\sqrt{2}$$＜5\sqrt{2}m$，假设成立m．
答：（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力为6N；
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离为2m；
（3）它第一次落在斜面上的位置距离B点为0.8$\sqrt{2}$m．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在 水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．