Question

14．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道竖直放置，A点为轨道的最低点，恰与一斜面底端在A点接触，斜面底边水平，倾角为θ，一个可看成质点的质量为m的小球，在A点获得一初速度，冲上半圆轨遁且恰好经过半圆轨道的最高点B点，然后做平抛运动垂直打在斜面上的C点，求：
（1）小球在A点时对圆弧轨道的压力大小；
（2）BC两点之间的水平距离x和高度差h．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通过最高点，结合牛顿第二定律求出B点的速度，根据动能定理求出A点的速度，结合牛顿第二定律求出A点的支持力大小，从而得出小球在A点对圆弧轨道的压力大小．
（2）抓住小球垂直打在斜面上，结合平行四边形定则求出落在斜面上的竖直分速度，根据速度时间公式求出平抛运动的时间，从而求出平抛运动的水平位移，根据速度位移公式求出下降的高度．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点B，根据mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$得，${v}_{B}=\sqrt{gR}$，
根据动能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
在A点，根据牛顿第二定律有：${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
联立解得N_A=6mg，
根据牛顿第三定律知，小球在A点对圆弧轨道的压力为6mg；
（2）小球平抛运动后垂直打在斜面上，根据平行四边形定则有：tanθ=$\frac{{v}_{B}}{{v}_{y}}$，
解得落在斜面上的竖直分速度${v}_{y}=\frac{\sqrt{gR}}{tanθ}$，
则BC间的水平距离x=${v}_{B}t={v}_{B}\frac{{v}_{y}}{g}$=$\sqrt{gR}×\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}=\frac{R}{tanθ}$，
高度差h=$\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．
答：（1）小球在A点时对圆弧轨道的压力大小为6mg；
（2）BC两点之间的水平距离x为$\frac{R}{tanθ}$，高度差h为$\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．

点评 本题考查了动能定理和圆周运动、平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．