Question

6．如图甲所示，在圆形水池正上方，有一半径为r的圆形储水桶．水桶底部有多个沿半径方向的水平小孔，小孔喷出的水在水池中的落点离水池中心的距离为R，水桶底部与水池水面之间的高度差是h．为了维持水桶水面的高度不变，用水泵通过细水管将洒落的水重新抽回到高度差为H的水桶上方．水泵由效率为η₁的太阳能电池板供电，电池板与水平面之间的夹角为α，太阳光竖直向下照射（如图乙所示），太阳光垂直照射时单位时间、单位面积接受的能量为E₀．水泵的效率为η₂，水泵出水口单位时间流出水的质量为m₀，流出水流的速度大小为v₀（不计水在细水管和空气中运动时所受的阻力）．求：
（1）水从小孔喷出时的速度大小；
（2）水泵的输出功率；
（3）为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值S．

Answer 1

分析 （1）由题意可知水做平抛运动的水平位移及竖直高度，则由平抛运动规律可得出水从小孔中喷出的速度；
（2）由功能关系可求得水泵做的功，由功率公式可求得功率；
（3）由太阳能及水泵在转化中的效率可求得实际需要的太阳能量，则可求得太阳能的电池板面积的最小值．

解答 解：（1）水从小孔喷出时速度沿水平方向，只受重力作用，做平抛运动，设水喷出时的速度大小为v，有：
R-r=vt
h=$\frac{1}{2}$gt²；
水喷出的速度为：v=$\frac{（R-r）\sqrt{2gh}}{2h}$；
（2）水泵做功，既改变水的势能，又改变水的动能．由功能关系得：
Pt=m₀tgh+$\frac{1}{2}$m₀tv₀²；
功率为：P=m₀gh+$\frac{1}{2}$m₀v₀²．
（3）考虑单位时间内的能量转化及利用效率，太阳能电池板接收太阳能的其中一部分转变成电能E₁，电能通过水泵将其中的部分转变成水的势能与动能E₂，有：
E₁=η₁E₀cosθ
E₂=η₂E₁
E₂=m₀gH+$\frac{1}{2}$m₀v₀²
解得最小面积为：S=$\frac{{m}_{0}gH+\frac{1}{2}{{m}_{0}v}_{0}^{2}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$；
答：（1）水从小孔喷出时的速度大小为$\frac{（R-r）\sqrt{2gh}}{2h}$；
（2）水泵的输出功率为m₀gh+$\frac{1}{2}$m₀v₀²．；
（3）为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值S$\frac{{m}_{0}gH+\frac{1}{2}{{m}_{0}v}_{0}^{2}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$．

点评 本题根据生活中的例子考查功能的关系，解题的关键在于明确题意，从而构建出我们所熟知的物理模型，则可轻松解决本题．