题目内容

4．如图所示，空间存在竖直向下的有界匀强磁场B，一单匝边长为L，质量为m的正方形线框abcd放在水平桌面上，在水平外力作用下从左边界以速度v匀速进入磁场，当cd边刚好进入磁场后立刻撤去外力，线框ab边恰好能到达磁场的右边界，然后将线框以ab边为轴，以角速度ω匀速翻转到图示虚线位置．已知线框与桌面间动摩擦因数为μ，磁场宽度大于L，线框电阻为R，重力加速度为g，求：
（1）当ab边刚进入磁场时，ab两端的电压Uab；
（2）磁场的宽度d；
（3）整个过程中产生的总热量Q．

分析 （1）ab边相当于电源，根据切割公式求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解ab两端的电压Uab；
（2）根据安培力公式求解安培力，根据平衡条件求解拉力；根据运动学公式求解磁场的宽度d；
（3）匀速进入磁场过程是恒定电流，根据焦耳定律求解焦耳热；根据功能关系求解摩擦产生的热量；最后翻转过程是正弦式交流电，先根据Em=NBSω求解最大值，得到有效值，最后根据焦耳定律求解电热．

解答 解：（1）ab边相当于电源，根据切割公式，有：
E=BLv
根据闭合电路欧姆定律，有：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$
根据欧姆定律，有：
Uab=I×$\frac{3}{4}R$=$\frac{3BLv}{4}$
（2）根据平衡条件，有：
F=FA+μmg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}+μmg$
撤去拉力后，线框匀减速运动，加速度为-μg，根据速度位移关系公式，有：
x1=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
所以：d=L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
（3）进入磁场过程中产生焦耳热：
Q1=I2Rt1=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
由于摩擦产生的热量：
Q2=μmg（L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$）=$μmgL+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
线框在绕ab轴翻转过程中，Em=BL2ω，有效值：
E=$\frac{B{L}^{2}ω}{\sqrt{2}}$
t=$\frac{1}{4}T=\frac{π}{2ω}$
产生焦耳热：
Q3=I2Rt=$\frac{{E}^{2}}{R}t$=$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
所以整个过程产生的热量为：
Q=Q1+Q2+Q3=μmgL+$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$+$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
答：（1）当ab边刚进入磁场时，ab两端的电压Uab为$\frac{3BLv}{4}$；
（2）水平拉力F的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}+μmg$，磁场的宽度d为L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）整个过程中产生的总热量Q为μmgL+$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$+$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$．

点评 本题关键是将线框的运动过程分为匀速、匀减速、转动三个过程进行分析，注意最后的翻转过程是正弦式交流电．要注意求电功时要用交流电的有效值．

练习册系列答案
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