Question

13．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h=200km的圆形轨道上运行，运行周期为T=127分钟．已知引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，月球半径约为R=1.74×10³km．利用以上条件写出月球密度的表达式且计算出其数值约是多少？（结果保留两位有效数字） （已知半径为R的球体体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 嫦娥一号绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，已知轨道半径和运动行周期求月球质量，再根据$ρ=\frac{M}{V}$求解密度．

解答 解：根据有引力提供嫦娥一号圆周运动的向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得中心天体月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
代入轨道半径r=R+h=1.74×10³+200km=1.94×10⁶m，周期T=127min=127×60s=7620s，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²
可得月球质量M=7.4×10²²kg
则密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3{π}^{\;}（R+h）}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
代入数据得：ρ=$\frac{7.4×1{0}^{22}}{\frac{4}{3}π•（1.74×1{0}^{6}）^{3}}$=3.5×10³kg/m³
答：月球密度的表达式为$ρ=\frac{3{π}^{\;}（R+h）}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，其值为3.5×10³kg/m³

点评 注意万有引力提供圆周运动的向心力只能计算中心天体的质量，不能计算环绕天体的质量．