Question

4．航天员在月球上做自由落体实验，将某物体由距离月球表面高h处由静止释放，经时间t落到月球表面，已知月球半径为R（h远小于R），引力常量为G，试求：
（1）月球的质量M
（2）飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的线速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M；　
（2）飞船近月飞行时，飞船所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出近月飞行时飞船的速度v．

解答 解：（1）由自由落体运动的规律可知：h=$\frac{1}{2}$gt²
解得月球表面重力加速度：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$  ①
在月球表面，万有引力与重力相等，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg   ②
由①②得：月球的质量M=$\frac{2{hR}^{2}}{{Gt}^{2}}$，③
（2）万有引力提供向心力，即$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ④
由③④解得：v=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$
答：（1）月球的质量是$\frac{2{hR}^{2}}{{Gt}^{2}}$；
（2）飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的线速度大小是$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$．

点评 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v．