Question

14．如图所示质量M=3m，长为2l的均匀长木板静止在水平地面上，两者间的摩擦因数μ=$\frac{1}{8}$，板的右端有一质量为m的小物块从静止出发通过与木板的某种相互机制，相对木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg运动，其中α＞1是一个不变的参数．小物块到达板中央后，立即改成以相对于木板a=$\frac{1}{2}$αg的反方向加速度继续相对木板运动到左端停下，直到木板在地面上不再运动为止．计算木板在地面上朝右的总位移大小s．

Answer 1

分析 小物块与木板之间的作用力提供小物块的加速度，由牛顿第二定律写出加速度的表达式，然后与相对速度的关系相结合，即可求出位移的关系．

解答 解：当小物块相对木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg加速运动时，小物块与木板之间的摩擦力为f₁；由题可知小物块相对于地面向左运动，设加速度为a₁，木板相对于地面向右运动，设加速度的大小为a₂，设木板与地面之间的摩擦力为f，选取向左为正方向，则由牛顿第二定律得：f₁=ma₁  ①
木板受到小物块对木板的向右的摩擦力与地面对木板的向左的摩擦力：f-f₁=-Ma₂  ②
小物块木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg运动，则：a=a₁+a₂   ③
又f=μ（m+M）g=4μmg  ④
联立①②③④得：${f}_{1}=\frac{3}{4}ma+μmg$=$\frac{3}{4}m•\frac{1}{2}αg+\frac{1}{8}mg=\frac{3}{8}α•mg+\frac{1}{8}mg$
所以：${a}_{1}=\frac{{f}_{1}}{m}=\frac{3}{8}•αg+\frac{1}{8}g$，${a}_{2}=\frac{1}{8}g（α-1）$   ⑤
小物块加速的过程中，x₁+x₂=L；即：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=L$ ⑥
联立⑤⑥得：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3α+1}{α-1}$，${x}_{2}=\frac{α-1}{4α}L$
当小物块相对木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg减速运动时，小物块与木板之间的摩擦力大小为f₂；木板对小物块的摩擦力的方向向右；由题可知小物块相对于地面向左运动，加速度的方向向右，设加速度大小为a₃，木板相对于地面向右运动，受到地面的摩擦力仍然向左，设加速度的大小为a₄，设木板与地面之间的摩擦力为f，选取向左为正方向，则由牛顿第二定律得：
-f₂=-ma₃   ⑦
木板受到小物块对木板的向左的摩擦力与地面对木板的向左的摩擦力：f+f₂=Ma₄   ⑧
小物块木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg做加速运动，加速度的方向向右，则：a=a₃+a₄   ⑨
联立⑦⑧⑨得：${f}_{2}=\frac{1}{4}f-3ma=μmg-\frac{3}{4}ma$=$\frac{1}{8}mg-\frac{3}{4}m•\frac{1}{2}αg=\frac{1}{8}mg-\frac{3}{8}α•mg$
${a}_{3}=\frac{{f}_{2}}{m}=\frac{3}{8}αg-\frac{1}{8}g=\frac{1}{8}g（3α-1）$，${a}_{4}=\frac{1}{8}g（α+1）$
x₃+x₄=L，$\frac{{x}_{3}}{{x}_{4}}=\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}=\frac{3α-1}{α+1}$
所以：${x}_{4}=\frac{1+α}{2α}•L$
木板在地面上朝右的总位移大小s：$s={x}_{2}+{x}_{4}=\frac{4+α}{4α}•L$
答：木板在地面上朝右的总位移大小是$\frac{4+α}{4α}•L$．

点评 该题考查牛顿运动定律的综合应用，涉及物体之间的相对运动以及相对运动的速度与加速度，该知识点不属于高考中必考的内容参加竞赛的同学仅作参考．