Question

4．如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在纸面向外．某时刻在x=l₀、y=0处，一质子（质子的质量为m，电荷量为e）沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l₀、y=0处，一个α粒子（α粒子的质量为4m，电荷量为2e）进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用，设．则：
（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？

Answer 1

分析 （1）根据质子运动的轨道半径，结合半径公式求出质子的速度．
（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，结合两者周期的关系，确定出α粒子的速度方向，结合粒子在磁场中运动的半径求出速度的大小．

解答 解：（1）质子的运动轨迹如图所示：

其圆心在：x=$\frac{{l}_{0}}{2}$处，其半径r₁=$\frac{{l}_{0}}{2}$．
质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v=$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）质子从x=l₀处到达坐标原点O处的时间为：t_H=$\frac{{T}_{H}}{2}$，
又T_H=$\frac{2πm}{eB}$，可得：t_H=$\frac{πm}{eB}$．
α粒子的周期为：T_α=$\frac{4πm}{eB}$，可得：t_α=$\frac{{T}_{α}}{4}$，
两粒子的运动轨迹如图所示：

由几何关系得：r_α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l₀，
由牛顿第二定律的：2ev_αB=4m$\frac{{v}_{α}^{2}}{{r}_{α}}$，
解得：v_α=$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向与x轴正方向的夹角为$\frac{π}{4}$．
答：（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向：与x轴正方向的夹角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中运动，对数学几何能力的要求较高，会确定圆心、半径和圆心角是解决本题的关键．