题目内容

15．硬质长方形薄塑料绝缘板长为2$\sqrt{2}$l（垂直纸面向里的长度）、宽为$\sqrt{2}$l（如图），共有2n块，与水平面成45°角按图所示放置，最左边的称为第一块，依次往右第二块、第三块…．PQ间的整个空间有水平向右的匀强磁场，同时在PQ间加上电压U（P的电势高于Q的电势，PQ间区域足够宽广），在O点正对塑料板的正中央处从静止释放一个质子（电荷量为e，质量为m），质子与板的碰撞没有动能的损失，并且碰撞后电压消失，接着碰撞后又恢复，如此反复．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）试求：
（1）质子与第一块板碰撞时的速度多大？
（2）为使质子能打在Q板上（正对O点的地方O′点），磁感应强度的最大值B为多少？
（3）在满足（2）的条件下，质子从出发到打在Q上经历了多长的时间？
（4）如果当第一次碰完第2n-1块时，塑料板全部脱落电压也依然存在，在满足（2）的前提下，质子将打在Q板何处？（以O′为坐标原点，竖直向上为y轴正向，垂直向外为x轴正向，用坐标点表示，计算中取  $\sqrt{2}$=$\frac{81π}{180}$，$\sqrt{6}$=$\frac{143}{180}$π）

分析 （1）利用动能定理，即可求出质子与第一块板碰撞时的速度大小；
（2）利用洛伦兹力提供向心力结合临界结合关系，即可求出磁感应强度B的最大值；
（3）分别求出质子在电场中做匀加速直线运动的时间和质子在磁场中做匀速圆周运动的时间，加和即可求出质子从出发到打在Q上经历的总时间；
（4）利用牛顿第二定律以及运动学规律，粒子在磁场中运动的周期公式以及粒子转过的圆心角，即可确定粒子打在Q板的位置坐标．

解答 解：（1）根据几何关系可得：d=2n•$\sqrt{2}$lcos45°=2nl
根据匀强电场中电场强度与电势差之间的关系式可得：E=$\frac{U}{2nl}$
根据动能定理可得：eE•$\frac{\sqrt{2}}{2}$lcos45°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得：v1=$\sqrt{\frac{eU}{2nm}}$
（2）根据几何关系可得质子运动的最小半径为：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l
根据洛伦兹力提供向心力可得：evB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
联立可得磁感应强度的最大值为：B=$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{mU}{ne}}$
（3）设质子在电场中做匀加速直线运动的时间为t1，
根据牛顿第二定律可得：a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{eU}{2nml}$
根据运动学规律可得：2nl=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
联立可得：t1=2nl$\sqrt{\frac{2m}{eU}}$
设质子在磁场中做匀速圆周运动的时间为t2：
质子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πm}{eB}$=2πl$\sqrt{\frac{nm}{eU}}$
粒子在磁场中运动的时间为：t2=2nT=4πnl$\sqrt{\frac{nm}{eU}}$
质子从出发到打在Q上经历的总时间为：t=t1+t2=2nl（$\sqrt{2}$+2π$\sqrt{n}$）$\sqrt{\frac{m}{eU}}$
（4）最后还余下的长度为1.5L，质子反弹后方向竖直向上，因此竖直面内匀速圆周运动，水平方向做初速度为零的匀加速运动，
根据匀变速直线运动的规律有：$\frac{3}{2}l=\frac{1}{2}at{′}^{2}$
可得质子运动时间为：t′=$l\sqrt{\frac{6nm}{eU}}$=$\frac{143πl}{180}\sqrt{\frac{nm}{eU}}$
而周期为：T=$\frac{2πm}{eB}$=$2πl\sqrt{\frac{nm}{eU}}$
所以粒子运动了143°，如图所示．

粒子碰该板的速度为：v=$\sqrt{（4n-3）\frac{eU}{2nm}}$
半径为：r′=$\frac{mv}{eB}$=$l\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$
X=-r′-r′cos37°=-1.8l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$
Y=r′sin37°=0.6l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$
所以坐标为：（-1.8l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$，0.6l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$）
答：（1）质子与第一块板碰撞时的速度为$\sqrt{\frac{eU}{2nm}}$；
（2）为使质子能打在Q板上（正对O点的地方O′点），磁感应强度的最大值B为$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{mU}{ne}}$；
（3）在满足（2）的条件下，质子从出发到打在Q上经历的时间为2nl（$\sqrt{2}$+2π$\sqrt{n}$）$\sqrt{\frac{m}{eU}}$；
（4）如果当第一次碰完第2n-1块时，塑料板全部脱落电压也依然存在，在满足（2）的前提下，质子将打在Q板坐标为（-1.8l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$，0.6l$\sqrt{\frac{4n-3}{2}}$）的点．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动和带电粒子在电场中的匀变速直线运动；粒子在磁场中的运动，运用洛伦兹力提供向心力与几何关系结合去解决，求解粒子在磁场中运动的时间时，要注意分析粒子所转过的圆心角．

练习册系列答案
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