Question

12．如图所示，有一竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，当滑块运动时，圆筒内壁对滑块有阻力的作用，阻力的大小恒为F_f=$\frac{1}{3}$mg（g为重力加速度）．在初始位置滑块静止，圆筒内壁对滑块的阻力为零，弹簧的长度为l，现有一质量也为m的物体从距地面2l处自由落下，与滑块发生碰撞，碰撞时间极短．碰撞后物体与滑块粘在一起向下运动，运动到最低点后又被弹回向上运动，滑动到刚发生碰撞位置时速度恰好为零，不计空气阻力．求：
（i）物体与滑块碰撞后瞬间共同速度的大小；
（ii）碰撞后，在滑块向下运动到最低点的过程中弹簧弹力做的功．

Answer 1

分析 （i）由机械能守恒定律求出碰撞前的速度，碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可以求出碰撞后的速度．
（ii）对滑块与物体组成的系统应用动能定理求出弹簧做功．

解答 解：（i）设物体下落至与薄滑块碰撞前的速度为v₀，在此过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgl=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gl}$，
设碰撞后共同速度为v，以向下为正方向，由动量守恒定律有：mv₀=2mv，
解得：v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gl}$．
（ii）设物体和滑块碰撞后下滑的最大距离为x，碰撞后物体与滑块一起向下运动到返回初始位置的过程，由动能定理得：
-2F_fx=0-$\frac{1}{2}$×2mv²，
设在滑块向下运动的过程中，弹簧的弹力所做的功为W，对碰撞后物体与滑块一起向下运动到最低点的过程，由动能定理得：
W+2mgx-F_fx=0-$\frac{1}{2}$×2mv²，
解得：W=-$\frac{7}{4}$mgl；
答：（i）物体与滑块碰撞后瞬间共同速度的大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gl}$；
（ii）碰撞后，在滑块向下运动到最低点的过程中弹簧弹力做的功为-$\frac{7}{4}$mgl．

点评 本题考查了求速度、损失的机械能、弹性势能的变化，分析清楚运动过程，应用机械能守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．应用动量守恒定律解题时注意正方向的选择，应用动能定理解题时要注意所研究的运动过程．