Question

15．如图所示，倾角θ=30°的绝缘光滑斜面向上，有一边界为矩形区域MNPQ磁场，边界MN为水平方向，MN与PQ之间距离为d=0.2m，以MN边界中点O为坐标原点沿斜面向上建立x坐标．已知磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小随坐标x位置变化，变化规律为B=$\sqrt{0.5-2.5x}$．现有n=10匝的正方形线圈abcd，其边长l=0.4m，总质量m=0.5kg、总电阻R=4Ω，ab边与MN 重合；在沿斜面向上的拉力F作用下，以恒定的速度v=1m/s，沿 x轴正向运动．g取10m/s²．
求：
（1）线圈ab边运动到x=0.1m位置时，线圈受到的安培力F_A．
（2）线圈穿过磁场区域过程中拉力F 做的总功W．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，及安培力表达式，即可求解；
（2）根据线圈经过磁场分三个阶段，结合动能定理，及几何关系，从而确定安培力与位移的关系，再结合图象，从而求得总功．

解答 解：（1）在x=0.1m处，磁感应强度B₁=0.5T；
由电磁感应定律，则有：E=nBlv=2V；
根据闭合电路欧姆定律，则有：I₁=$\frac{E}{R}$=$\frac{nBlv}{R}$=$\frac{2}{4}$=0.5A；
那么线圈受到的安培力大小F_A=nBIl=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$=1N；
（2）线圈经过磁场区域分成三个阶段，第一阶段ab边在切割磁场，第二阶段线圈没有切割磁场，第三阶段线圈cd切割磁场
由动能定理，可得：W+W_G+W_A=0
h=（d+l）sinθ=0.3m
W_G=mgh=-1.5J
由上可得，线圈受到安培力：F_A=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$=2-10x（N）是变力
由F_A-x图象可知，

则有，W_A=-$\frac{1}{2}×2×0.2×2$=-0.4J
解得：W=-W_G-W_A=1.5+0.4=1.9J；
答：（1）线圈ab边运动到x=0.1m位置时，线圈受到的安培力1N．
（2）线圈穿过磁场区域过程中拉力F 做的总功1.9J．

点评 考查法拉第电磁感应定律，闭合电路欧姆定律的内容，掌握安培力表达式与动能定理的应用，理解根据F_A-x图象求得总功的方法．