Question

18．如图所示，在xOy直角坐标系原点O处有一粒子源，它能向与x轴正方向夹角0-180°范围平面内的各个方向均匀发射速度相等、质量m、电荷量+q的带电粒子，x=$\sqrt{3}$a处垂直于x轴放置荧光屏MN，空间有垂直于xOy平面的匀强磁场．不计粒子重力和粒子间相互影响．
（1）设磁场范围足够大，已知从O点沿-x方向发射的粒子，经t₀时间到达荧光屏上x=$\sqrt{3}$a，y=3a的P点，求粒子运动速度v和磁场的磁感强度B；
（2）求出（1）问情境下粒子打到荧光屏MN上的坐标范围、从O点到达荧光屏最长时间与最短时间对应粒子粒子初速度方向；
（3）若从O点发射所有粒子速度大小是v₀，磁场区为一个圆形区域，要使得从O点射出粒子都能垂直打到荧光屏上，求磁场磁感强度B满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，粒子从O点出发，做圆周运动后打上荧光屏的P点，由几何关系求出做匀速圆周运动的半径和偏转角，由洛仑兹力提供向心力就能求出磁感应强度的大小和速度大小．
（2）打在最高点是轨迹所对的弦最长即是直径2r，如图所示的M点，由几何关系可以求出最高点M的纵坐标y₁；而打的最低点是轨迹恰好与屏相切时，即图中的N点，由勾股定理也能求出N点的纵坐标y₂，至于最长、最短时间显然是偏转角最大或最小的位置，由此可以确定入射的方向．
（3）磁场区为一个圆形区域，要使得从O点射出粒子都能垂直打到荧光屏上，此种情况是磁聚焦特殊情况，则要求磁场半径R等于粒子回旋半径r，由洛仑兹力提供向心力从而求出磁感应强度的大小．

解答 解：（1）粒子回旋半径为r，如图，则有
  r+$\sqrt{{r}^{2}-3{a}^{2}}$=3a
得：r=2α
所以由O到P点转过圆心角$\frac{5π}{6}$，粒子运动速度v
  v=$\frac{\frac{5π}{6}r}{{t}_{0}}$=$\frac{5πa}{3{t}_{o}}$
  又qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    
  所以：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{5πa}{6q{t}_{0}}$
（2）O点射出粒子在MN上最高点y₁，即粒子恰好转过半周（轨迹对应的弦为直径）
 y₁=$\sqrt{（2r）^{2}-（\sqrt{3}a）^{2}}$=$\sqrt{13}a$ 
  沿x轴正方向射出粒子在MN上落点最低y₂（y₂＜0）（轨迹恰与屏相切）
  （r+y₂）²+（$\sqrt{3}a$）²=r²
  解得：y₂=α
  所以粒子打在MN上范围：$\sqrt{13}a≥y≥-a$
  粒子从O点射出到达MN最长时间对应的是沿-x方向到达P点的粒子
  粒子从O点射出到达MN最短时间对应粒子如图，与x正方向夹角为θ  则sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
    所以θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$
（3）从O点以相同速度v₀射出粒子都垂直打到MN上偏转磁场在图中虚线圆形区域内，磁场半
径R等于粒子回旋半径r
   R=r
 又粒子回旋：qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
  B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$
 B越小，r越大，R最大值$\sqrt{3}a$，即r≤$\sqrt{3}a$
  得：B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qa}$
答：（1）设磁场范围足够大，已知从O点沿-x方向发射的粒子，经t₀时间到达荧光屏上x=$\sqrt{3}$a，y=3a的P点，则粒子运动速度v为$\frac{5πa}{3{t}_{o}}$，磁场的磁感强度B为$\frac{5πa}{6q{t}_{0}}$．
（2）在（1）问情境下粒子打到荧光屏MN上的坐标范围是$\sqrt{13}a≥y≥-a$、从O点到达荧光屏最长时间是沿-x方向到达P点的粒子，最短时间对应粒子粒子初速度方向
与x轴正方向成θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$角．
（3）若从O点发射所有粒子速度大小是v₀，磁场区为一个圆形区域，要使得从O点射出粒子都能垂直打到荧光屏上，磁场磁感强度B满足的条件是不小于$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qa}$．

点评 要注意的是第三问：要求所有粒子从O点射出的粒子均垂直打在屏MN上，显然这是磁聚焦的情况，要求磁场半径R等于粒子回旋半径r，这样就表示磁感应强度的表达式，从表达式可以看出，B越大，r越小，而r对应有最大值，则B对应有最小值．