Question

19．如图所示，用折射率n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的玻璃做成一个内径为R、外径为$\sqrt{3}$R的半球形空心球壳．一束与O′O平行的平行光射向此半球的外表面，用一个圆形遮光板遮挡一部分入射光线，结果恰好没有光线射进半球的空心部分．已知遮光板与O′O垂直且圆心过O′O轴，求圆形遮光板的半径．

Answer 1

分析 光线恰好没有射进半球的空心部分，说明折射光线在空心球壳发生了全反射，且入射角等于临界角，根据sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C，画出光路图，由折射定律求出折射角，根据几何知识求圆形遮光板的半径．

解答 解：光路图如图所示．设光线沿遮光板边缘射入的光线入射角为θ₁，对应的折射角为θ₂．光线在球壳内表面恰好发生全反射，则在球壳内表面的入射角等于临界角C．

由sinC=$\frac{1}{n}$得  C=60°
在三角Oab中，由正弦定理得：
$\frac{Ob}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{Oa}{sin（180°-C）}$
其中 Ob=R，Oa=$\sqrt{3}$R
解得：θ₂=30°
由折射定律有：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：sinθ₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由几何关系可知，遮光板的半径为：r=Oasinθ₁
解得：r=R
答：遮光板的半径为R．

点评 本题是折射定律、临界角和几何知识的综合应用，作出光路图是基础，要灵活运用数学知识帮助解决物理问题．