Question

13．如图所示，两根质量均为2kg的金属棒ab、cd静止放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间有强度相等、方向相反的匀强磁场，两棒的电阻之比R_ab：R_cd=1：2，导轨足够长且电阻忽略不计．若用250N的水平力向右拉cd棒，在cd棒开始运动0.5m的过程中，cd棒上产生的焦耳热为30J，cd棒运动0.5m后立即撤去拉力，这时两棒速度大小之比v_ab：v_cd=1：2，求：
（1）撤去外力时两棒的速度是多大？
（2）最终电路中产生的总的焦耳热是多少？

Answer 1

分析 （1）在有拉力F作用过程，cd棒上产生的焦耳热为Q=30J，根据焦耳定律和电阻之比，可求得ab棒上的产生热量Q′，根据功能关系和条件：v_ab：v_cd=1：2列式，即可求得撤去F时，两棒的速度．在稳定运动时两棒产生的感应电动势相等，回路中感应电流为零，两棒都做匀速运动．撤去拉力F之后到最终稳定运动过程，运用动量定理，分别对两棒列式，即可求得两棒的最终速度v_b，v_c．
（2）根据能量守恒定律求解回路中产生的总焦耳热．再求ab棒中产生的总焦耳热Q．

解答 解：（1）由焦耳定律Q=I²Rt，I、t相等，R_ab：R_cd=1：2，得两棒上产生的焦耳热之比 Q_ab：Q_cd=1：2
可知ab棒上的生热为 Q_ab=$\frac{1}{2}$Q_cd=$\frac{1}{2}$×30J=15J，
故Q=Q_ab+Q_cd=45J
cd棒运动0.5m的过程中，由功能关系有：Fs=$\frac{1}{2}$mv_ab²+$\frac{1}{2}$mv_cd²+Q
又F对cd做的功 W=Fs=250×0.5J=125J．
所以$\frac{1}{2}$mv_ab²+$\frac{1}{2}$mv_cd²=80J
又v_ab：v_cd=1：2，所以撤去外力时两棒的速度分别为：
   v_ab=4m/s，v_cd=8m/s
（2）由公式F=BIL知，任一时刻都有2F_ab=F_cd，则2$\overline{{F}_{ab}}$=$\overline{{F}_{cd}}$
由动量定律得
对ab棒：$\overline{{F}_{ab}}$t=m（v′_ab-v_ab）
对cd棒：-$\overline{{F}_{cd}}$t=m（v′_cd-v_cd）
在稳定运动时有：BL_abv′_ab=BL_cdv′_cd
且2L_ab=L_cd，联立解得：v′_cd=3.2m/s，v′_ab=6.4m/s
所以电路中产生的总的焦耳热为：Q′=Fs-$\frac{1}{2}$mv′_ab²-$\frac{1}{2}$mv′_cd²
代入数据解得 Q′=73.8J
答：（1）撤去外力时两棒ab、cd的速度各是4m/s和8m/s．
（2）最终电路中产生的总的焦耳热是73.8J．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合应用，关键要抓住稳定时，两棒的感应电动势相等，都做匀速运动，运用动量定理求速度．