Question

13．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀；
（2）若ω=（1-k）ω₀，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω₀²，解得ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$
（2）当ω=（1-k）ω₀时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，
根据牛顿第二定律得，
Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω²．
mg=Nsin30°+fsin60
联立两式解得f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg
答：（1）小物块受到的摩擦力恰好为零时，ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$．
（2）当ω=（1-k）ω₀时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．