Question

7．如图所示的装置为一个光滑圆弧轨道与水平轨道相连，小物块A、B质量均为m，水平轨道上PQ段长为l与小物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑．初始时，轻质弹簧处于原长，其左端带有轻质挡板静止于Q点，轻质弹簧右端固定在O点；小物块A从光滑圆弧轨道上高为h处无初速度滑下，与静止在光滑圆弧轨道末端的B发生完全非弹性碰撞，之后A、B一起向右运动，不再返回P点左侧．
（1）求A与B碰后两者的速度和碰撞过程中损失的机械能；
（2）若A、B一起运动一段时间后静止下来，在此过程中A、B整体与弹簧有一次相互作用，求h的取值范围．（弹簧始终在弹性限度内，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

Answer 1

分析 （1）A到B的过程中重力做功，机械能守恒；A与B碰撞的过程中系统的动量守恒，系统损失的机械能为减小的动能；
（2）A、B整体与弹簧有一次相互作用，可能恰好到达Q，也可能返回圆弧面后，再次恰好到达Q，由此即可解答．

解答 解：（1）滑块下滑的过程中机械能守恒，得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
整理得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}$
与B发射碰撞的过程中动量守恒，选取向右为正方向，则：mv₁=2mv₂
所以：${v}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$  ①
碰撞的过程中损失的机械能：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
整理得：$△E=\frac{1}{2}mgh$
（2）AB整体滑上PQ后，若恰好到达Q，则有：$-μ（2m）gl=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2μgl}$  ②
联立①②得：h₁=4μl
若AB返回圆弧面后，一起下滑并再次恰好到达Q，则：$-μ（2m）g（3l）=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
整理得：${v}_{2}=\sqrt{6μgl}$  ③
联立①③得：h₂=12μl
故高度h的范围：4μl≤h≤12μl
答：（1）求A与B碰后两者的速度和碰撞过程中损失的机械能是$\frac{1}{2}$mgh；
（2）若A、B一起运动一段时间后静止下来，在此过程中A、B整体与弹簧有一次相互作用，求h的取值范围是4μl≤h≤12μl．

点评 该题中，A与静止在光滑圆弧轨道末端的B发生完全非弹性碰撞，说明碰撞后它们的速度是相等的．