Question

13．如图所示，矩形线圈的匝数为n，线圈面积为S，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，在线圈由图示位置转过90°的过程中，不计一切摩擦．求：
（1）通过电阻R的电荷量q；
（2）电阻R上产生的焦耳热Q；
（3）驱动线圈转动的外力所做的功W．

Answer 1

分析 由法拉第电磁感应定律可求得平均电动势，再由欧姆定律求出平均电流，由Q=It可求出电荷量
求出交流电的最大值，再由有效值与最大值的关系即可求出电阻R的焦耳热；
由焦耳定律求出热量，即驱动线圈外力做功．

解答 解：（1）△φ=BS，时间$△t=\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}$
所以产生的平均电动势为$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}=\frac{2nBSω}{π}$
平均电流为$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}=\frac{2nBSω}{π（R+r）}$
通过R的电荷量$q=\overline{I}•△t=\frac{nBS}{R+r}$
（2）在此过程中电阻R上的焦耳热为一个周期内产生焦耳热的$\frac{1}{4}$
$Q=\frac{1}{4}{I}^{2}RT=\frac{1}{4}（\frac{nBSω}{\sqrt{2}（R+r）}）^{2}R\frac{2π}{ω}$=$\frac{πωR（nBS）^{2}}{4（R+r）^{2}}$
（3）线圈转动过程中产生的感应电动势的最大值Em=NBSω，有效值E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{nBSω}{\sqrt{2}}$．据闭合电路的欧姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{nBSω}{\sqrt{2}（R+r）}$，据能量守恒，外力所做的功将全部转化为电能，故
W=EIt=$\frac{nBSω}{\sqrt{2}}•\frac{nBSω}{\sqrt{2}（R+r）}•\frac{2π}{ω}•\frac{1}{4}$=$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}{S}^{2}ω}{4（R+r）}$
答：（1）通过电阻R的电荷量q为$\frac{nBS}{R+r}$；
（2）电阻R上产生的焦耳热Q为$\frac{πωR（nBS）^{2}}{4（R+r）^{2}}$；
（3）驱动线圈转动的外力所做的功W为$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}{S}^{2}ω}{4（R+r）}$．

点评 本题考查有效值及平均值，在解题时要注意，当求电功、电压表示数时一律用有效值；而求电量时要用平均值