Question

8．如图所示，圆心为M（0，b）的圆形区域内有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在虚线x=b的右侧与虚线y=2b的下侧所围区域有水平向右的匀强电场，其他的地方为无场区，两条虚线均与圆相切，P、N为切点．在y=4b处放置与y轴垂直的光屏．一质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿y轴正方向射入磁场，经磁场偏转后从N点离开磁场进入电场，经过t=$\frac{2m（π+1）}{eB}$时间后最终打在光屏上，电子重力不计．
（1）求电子从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场的速度v₀；
（2）求匀强电场的场强大小；
（3）若大量的电子均以（1）问中速率v₀，在xoy平面内沿不同方向同时从坐标原点O射入，射入方向分布在与y轴正方向成60°范围内，不考虑电子间的相互作用，则电子先后到达光屏的最大时间差△t；
（4）若只有两束电子夹角为90°，均以（1）问中的速率v₀在xoy平面内沿不同方向同时从坐标原点O射入（两束电子的射入方向均不与x轴重合），求光屏上两光点间的最小距离S_min．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场做圆周运动，由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求出从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场的速度v₀；
（2）根据时间关系，粒子在磁场中、电场中及无场区运动的总时间等于$\frac{2m（π+1）}{eB}$，求出电场强度E
（3）沿y正方向进入的粒子，最先到光屏，沿60°进入粒子最后达到光屏，求出其时间差．
（4）画出轨迹图，根据几何关系求出光屏上两点间距离的表达式，再运用数学知识求最小值

解答 解：（1）由电子能从N点离开磁场可知，电子在磁场中做圆周运动轨道半径
R=b ①
$e{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由①②得：${v}_{0}^{\;}=\frac{eBb}{m}$
（2）如图所示，电子在磁场中运动时间：${t}_{1}^{\;}=\frac{T}{2}$ ③
$T=\frac{2πm}{eB}$④
由③④得：${t}_{1}^{\;}=\frac{πm}{qB}$
电子在电场中运动时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{a}$⑤
加速度$a=\frac{eE}{m}$ ⑥
出磁场后时间${t}_{3}^{\;}=\frac{2b}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2m}{Be}$
${t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=t=\frac{2m（π+1）}{eB}$⑦
联立以上各式得：$E=\frac{2e{B}_{\;}^{2}b}{πm}$
（3）如图可以得，所有电子沿平行于电场方向离开磁场进入电场，电子运动速率不变，电子在电场中运动时间不变．电子再回到磁场继续做圆周运动，电子在磁场中运动轨迹所对圆心角之和保持不变，即电子在磁场中运动时间不变．并可得电子离开磁场射向光屏时的速度方向与从O点射入时速度方向相同．即电子沿+y方向射入到打到
屏用时间最短，沿与+y方向成60°射入到打到光屏上用时间最长．

电子经第一个无场区域用时$△{t}_{1}=\frac{b}{{v}_{0}}$⑧
电子经过第二个无场区域多用时$△{t}_{2}^{\;}=\frac{2b}{{v}_{0}^{\;}}$⑨
联立得：$△t=\frac{3b}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{3m}{eB}$
（4）当电子束离开磁场区域时互成90⁰，打到光屏上的间距S=2b（tanα+tanβ）⑩
α+β=90°⑪
$S=2b（tanα+\frac{1}{tanα}）≥4b$⑫
联立得：${S}_{min}^{\;}=4b$

答：（1）电子从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场的速度${v}_{0}^{\;}$为$\frac{eBb}{m}$；
（2）匀强电场的场强大小$\frac{2e{B}_{\;}^{2}b}{πm}$；
（3）电子先后到达光屏的最大时间差△t为$\frac{3m}{eB}$；
（4）光屏上两光点间的最小距离${S}_{min}^{\;}$为4b．

点评 本题关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；第三问关键先根据题意，分析后画出物体的运动轨迹，然后再列式计算．一定要注意重视数学方法在物理中的应用．