Question

5．如图，水平传送带上表面的右侧，与一个竖直的光滑半圆轨道底端相接，在半圆轨道下端O放一质量为m的滑块A，传送带以速率v₀沿顺时针转动，现在传送带的左端轻轻放上一个质量也为m的滑块B，物块与传送带的动摩擦因数为μ，物块B以速度为v₀与A发生弹性碰撞，物块脱离轨道飞出后落在轨道或传送带上将会继续发生碰撞，两滑块可视为质点，求：
（1）传送带至少多长？
（2）要保证被撞后的A滑块能沿圆弧轨道运动，圆弧轨道的半径应满足什么条件？
（3）若A与B能在O点发生多次碰撞，则当A与B发生第五次碰撞时，物块与传送带间的摩擦产生的内能是多少？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出物体B的加速度，当达到传送带速度时物体B前进的位移即为传送带的长度；
（2）物块B以速度为v₀与A发生弹性碰撞，根据动量定理求的物体A的速度，由牛顿第二定律求的到达最高点的速度，由动能定理求的半径；
（3）求出在每一次碰撞过程中物体B与传送带的相对位移，由Q=μmgx求得产生的内能，即可求得在当A与B发生第五次碰撞时，物块与传送带间的摩擦产生的内能

解答 解：（1）物块B在传送带上加速运动，由牛顿第二定律可知μmg=ma
a=μg
加速到与传送带具有相同速度前进的位移为x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）根据动量定理，碰撞后A的速度为v₀
物体到达圆弧最高点具有的速度为
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$
从A到B由动能定理可得
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
半径最大为$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）若A与B能在O点发生多次碰撞，
物块B第一次在传送带上运动达到传送带速度所需时间为t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$
物块B前进的位移为x₁=$\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
传送带前进的位移为x₂=v₀t₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$，相对位移$△{x}_{1}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
产生的内能为${Q}_{1}=μmg•△{x}_{1}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
第一次与A发生碰撞后A沿向上运动后再沿圆弧下滑，与B发生第二次碰撞，物体B在传送带上做减速运动，减速运动到零物体B与传送带的相对位移为
$△{x}_{2}={x}_{2}+{x}_{1}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$
产生的内能为${Q}_{2}=μmg•△{x}_{2}=\frac{3}{2}{mv}_{0}^{2}$
依此类推当第五次发生碰撞时产生的总内能为$Q=3{Q}_{1}+2{Q}_{2}=\frac{9}{2}{mv}_{0}^{2}$

答：（1）传送带至少为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）要保证被撞后的A滑块能沿圆弧轨道运动，圆弧轨道的半径最大为$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）块与传送带间的摩擦产生的内能是$\frac{9}{2}{mv}_{0}^{2}$

点评 本题主要考查了匀加速度直线运动与动能定理，抓住运动过程是关键；