Question

13．如图，一个小球可以绕O点在竖直面内做圆周运动，B点是圆周运动的最低点，悬线的长为L，现将球拉至A点，悬线刚好拉直，悬线与竖直方向的夹角为53°，给小球一个水平向右的初速度，结果小球刚好能到达C点，小球的质量为m，重力加速速度为g，求：（sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）小球的初速度大小；
（2）小球在B点开始做圆周运动时绳的张力；
（3）小球运动到B点时绳绷紧过程损失的机械能及小球向右运动到的最高点C相对于B点的高度．

Answer 1

分析 （1）小球由A到B做平抛运动，根据平抛运动规律即可解的
（2）对BC过程，根据动能定理解B点速度，根据合力充当向心力列式求解绳子的张力
（3）根据平抛运动规律求解末速度大小，根据能量守恒定律绳绷紧过程损失的机械能；对BC过程由机械能守恒定律可求得高度．

解答 解：（1）小球由A到B做平抛运动
根据平抛运动规律知
 Lsin53°=v₀t
 L（1-cos53°）=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立上式解得 t=$\sqrt{\frac{4L}{5g}}$，v₀=$\sqrt{\frac{4}{5}gL}$
（2）根据运动的合成和分解知：小球到达B点绳绷紧前瞬间的速度大小为 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$
速度与水平方向的夹角为α，则tanα=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=1，α=45°
则绳绷紧后瞬间小球的速度为 v′=v₀tanα=$\sqrt{\frac{4}{5}gL}$
在B点，有 T-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{L}$，解得 T=1.8mg
（3）小球运动到B点时绳绷紧过程损失的机械能△E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{′2}$=$\frac{2}{5}$mgL
设小球向右运动到的最高点C相对于B点的高度为h，由机械能守恒定律可知：
mgh=$\frac{1}{2}$mv'²
解得：h=$\frac{v{′}^{2}}{2g}$=$\frac{\frac{4}{5}gL}{2×g}$=$\frac{2}{5}$L；
答：（1）小球的初速度大小为$\sqrt{\frac{4}{5}gL}$；
（2）小球在B点开始做圆周运动时绳的张力为1.8mg；
（3）小球运动到B点时绳绷紧过程损失的机械能为$\frac{2}{5}$mgL；小球向右运动到的最高点C相对于B点的高度$\frac{2}{5}$L．

点评 本题考查能量的转化及守恒关系，要注意确定物理过程，明确在绳子绷紧的过程中会有能量损失．