Question

15．如图所示，用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成内径为 R、外径为R′=$\sqrt{2}$R的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，且与中心对称轴 OO′平行，求从球壳内表面射出的光线的出射点离OO′的最大距离．

Answer 1

分析 在内球表面刚好发生全反射的点距OO'距离最大，根据sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角，由几何关系求出折射角，由折射定律$\frac{sini}{sinr}=n$求出入射角，再根据几何关系得出最大距离；

解答 解：设光线a′a射入外球面，沿ab方向射向内球面，
刚好发生全反射，则
由  sinC=$\frac{1}{n}$ 
 得C=45°
在△Oab中，Oa=$\sqrt{2}R$、Ob=R
则有$\frac{\sqrt{2}R}{sin（180°-C）}=\frac{R}{sinr}$
解得 r=30°，则θ=C-r=45°-30°=15°
又$\frac{sini}{sinr}=n$ 
  解得i=45°
所以从球壳内表面射出的光线出射点离OO′的最大距离d=Rsin（i+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
答：从球壳内表面射出的光线的出射点离OO′的最大距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$

点评 本题是折射定律、临界角和几何知识的综合应用，作出光路图是基础．