Question

4．如图所示，长为L的细绳竖直悬挂着一质量为M=2m的小球A，恰好紧挨着放置在水平面上质量为m的物块B．现保持细绳绷直，把小球向左上方拉至细绳与竖直方向成60°的位置，然后释放小球，小球到达最低点时恰好与物块发生弹性碰撞，碰后物块则向右滑行了L的距离而静止，
（1）求物块与水平面间的动摩擦因数μ．
（2）如果μ符合第（1）问，讨论：M≥m，物块B在水平面滑动距离S的范围．（提示：解决范围问题，定要确定上下边界两个量）

Answer 1

分析 （1）小球向下摆动的过程中机械能都守恒，根据机械能守恒定律求出碰撞前小球的速度大小．根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰撞后物块的速度大小，根据动能定理研究向右滑动过程，求出物块与水平面间的动摩擦因数μ．
（2）根据上题的结果，分析B获得的速度范围，由动能定理求物块B在水平面滑动距离S的范围．

解答 解：（1）对小球下摆过程分析，根据机械能守恒定律得：
   2mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$•2mv₀² 
解得：v₀=$\sqrt{gL}$
设小球与物块碰撞后，小球的速度为v₁，物块的速度为v₂，选向右方向为正方向．
由动量守恒定律得：
   Mv₀=Mv₁+mv₂
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
又 M=2m
解得 v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀=$\frac{4}{3}\sqrt{gL}$
对物块向右滑行的过程，根据动能定理得：
-μmgL=0-$\frac{1}{2}$mv₂²
联立解得 μ=$\frac{8}{9}$
（2）由v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀变形得：v₂=$\frac{2}{1+\frac{m}{M}}$v₀．
当M=m时，v₂最小，物块B在水平面滑动距离S最小．v₂最小值为 v_2min=v₀=$\sqrt{gL}$
由动能定理得：-μmgS_min=0-$\frac{1}{2}$mv_2min²
解得 S_min=$\frac{9}{16}$L
当M→∞时，v₂最大，物块B在水平面滑动距离S最大．v₂最大值为 v_2max=2v₀=2$\sqrt{gL}$
由动能定理得：-μmgS_max=0-$\frac{1}{2}$mv_2max²
解得 S_max=$\frac{9}{4}$L
所以S的范围为 $\frac{9}{16}$L≤S≤$\frac{9}{4}$L
答：
（1）物块与水平面间的动摩擦因数μ是$\frac{8}{9}$．
（2）S的范围为 $\frac{9}{16}$L≤S≤$\frac{9}{4}$L．

点评 本题采用程序思维进行分析，把握各个过程的物理规律是关键．要知道弹性碰撞遵守两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律．